投資理論

外匯匯率

張貼者:2011年11月14日 上午2:34台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2011年11月14日 上午2:35 ]

匯率一直是投資者關心的話題,舉凡外幣定存、國外股票、海外基金及黃金買賣都跟外幣有關,匯率變動更是影響報酬率的關鍵因素之一。投資者最關心的莫過於現在的匯率是高點還是低點,尤其是未來匯率的走勢是貶值還是升值。如果深入了解匯率的本質,以及影響匯率的各項因素,相信對於了解匯率的走勢會有更大的幫助。

匯率是如何決定的

為什麼目前一塊錢美金可以換31元台幣,而不是20元、或者是40元。由以下我跟投資者的對話可以知道,許多人對這問題一直都是憑感覺的。就在去年(2008)年初,當時台幣非常強勢,一度升值到快衝破30,許多投資者便開始徬徨了,不知那波會升值到哪裡?不少人還擔心可能會到25?問其原因,理由幾乎都是歷史匯率曾到過那裏。我再追問,那麼有可能是1:20嗎?也還有人回答“也說不定喔,誰知道!”。其實,要了解當中原因可以把這問題極端化一點,1美元兌1台幣可能嗎?當然不可能了,如果是的話,買一輛美國口的汽車只要台幣2萬元,買一棟美國房子只要20萬台幣,這時大家不把全部家產換成美金,飛奔去買國外的東西才怪!美元的大量需求,結果當然是造成台幣迅速回貶,這就是市場那隻背後的黑手在幕後操縱的結果。那麼以相同邏輯往回推,1:10顯然也是不可能的,1:20機會也不大。那~~~多少才叫做是合理呢?可以觀察一下歷史匯率,如果最近一年的匯率在政府沒有干預情況下都在31上下徘徊,有理由相信大部分的人認為1:31的匯率不會造成兩邊貨幣的不平衡流動,也就是31的匯率是一個穩定平衡點。

單一價格法則(Law of one price)

那31的價位是市場表現出來的,有無其他方式可以相互佐證這匯率是合理的。『單一價格法則』就能解釋的相當清楚,哇!真是個有學問的名詞,學術界似乎特別喜歡把平凡東西給取個冠冕堂皇的名號。其實講白了不就是一個相同的物品在兩個國家應該具有相同價值。同品質的蘋果在美國的價值,應該和在台灣是一樣的。如果那蘋果在美國賣US$1,在台灣賣NT$31,那麼合理的兌換率就是1美元等於31台幣。如果目前匯率低於1:31來到了1:28,也就是進口蘋果只需28元了,跟國內蘋果有3元(10%)價差,就有利潤可圖了,這會驅使進口商大量進口蘋果,結果當然是造成美元需求增加,台幣因而回貶,直到匯率和市場價格平穩為止。這意味著當匯率短暫失衡,也就是匯率和雙邊商品價格不一致時,市場機制會自動回調至一致為止。

大麥克漢堡

大麥克

國外很知名的經濟學人(Economist)雜誌,就用麥當勞的大麥克漢堡(Big Mac),以全世界的價格做了一個分析,藉以看出哪些國家的匯率偏高或偏低。讀者可以參考下列網站(Big Mac Index)實際體會一下。經濟學人做這例子主要目的當然是以教育及趣味成分居多,但利用平常大家都會接觸到的麥當勞,來表達購買力平價之精髓,也是個相當成功的範例。

通貨膨漲率因素

剛剛提到相同一個蘋果,美國賣US$1,在台灣賣NT$31。如果每年通貨膨漲率美國是0%,台灣是5%,那麼一年後同一個蘋果,美國還是賣US$1,可是台灣卻得花31*1.05=32.55元才買得到。那麼合理推斷,一年後的匯率會貶值到32.55。也就是說台幣一年後的購買力變弱了,原來只要31元的蘋果,現在卻要價32.55元。把單一價格法則加入通膨考量,這就是經濟學裡『相對購買力平價理論』的精神:兩國預期通貨膨漲率之差距,會導致匯率成反向變動。也就是說預期較高通貨膨漲率高的國家,其貨幣勢將貶值。

利率對匯率的影響

早期國內外資金的往來通常只侷限於兩國之間的貿易,可是近年來國與國的金融互動也成為資金往來的主角之ㄧ。假若讀者目前有一筆閒置資金,除了可以於國內投資外,還可放美元定存、澳幣定存、南非幣定存以及各種海外基金、債券,甚至於黃金都是屬於投資範疇。這類海外資金的流動都和兩國之間利率的差距有著某種程度的關連。那我們來看看,當兩國之間利率不一樣時,匯率又會呈現何種變化呢?

經濟學有個費雪效應(Fisher Effect),名目利率 = 實質利率 + 通貨膨漲率。意思是說其實每個國家之實質利率都差不多的,利率的高低都是因為通貨膨漲率造成的。也就是說高利率通常伴隨著高通貨膨漲率。這道理很簡單,假若貸款者要求的實質利率不變,因為通膨的關係,貸款者當然會要求更高的利率來彌補通膨所帶來的損失,這就是為何利率和通膨成正比的原因了。其實這也隱含著:造成兩國之間的利率差額的主要因素是通貨膨漲率之不同。高名目利率國家代表較高的通貨膨漲率,再根據購買力平價理論,可以得知未來匯率勢必貶值。

國際收支表

不論是從購買力平價理論或費雪效應,都是以長期觀點來切入,認為市場終究會調整目前之不平衡狀態。但這類的分析並不適用於短期匯率波動的預測。匯率是由外匯市場決定的,外匯市場就是買賣外幣的地方。在外匯市場裡,外幣就是商品,不論想買美金、歐元或者賣美金及歐元,都可以到外匯市場來買賣。既然是買賣,價格當然是由買賣雙方叫價決定,自然會由市場的供需狀況來決定了。也就是說當市場上想要賣美金的金額比要買美金的多,就是『供過於求』那麼市場價格就會降低。反之,想買美金的比較多,因為『供不應求』價格自然上揚。

要了解外幣的市場供需狀況,可以從國際收支表Balance Of Payments(BOP)很清楚的看出來。國際收支表是國家對外匯進出的一個整體統計,就是以國家計算所有對外進出的金額,計算公式簡化如下:

國際收支餘額(BOP) = 經常帳餘額 + 資本帳餘額 + 金融帳餘額 + 官方準備

經常帳餘額 = 商品與勞務的出口 - 商品與勞務的進口
資本帳餘額 = 資本流入 - 資本流出
金融帳餘額 = 金融性流入 - 金融性流出
官方準備 = 國家外匯準備

這裡的意思是說,整體來說如果國際收支餘額為零,代表外匯進出是平衡的,也就是說供需相等。這時台幣不會升值也不會貶值。如果收支餘額為順差(正值)時,因為出口商要賣出的外幣比進口商要買的外幣還要多,所以本國貨幣的需求過多,進而造成本國貨幣之升值。反之,當收支為逆差時,則會造成本國貨幣之貶值。

下列連結可以看到央行發布的歷年國際收支狀況

央行外匯操作

BOP的最後一項是官方準備,也就是外匯存底了。當國際收支不平衡時,匯率就會有波動,可是當波動過大時就會有短線投資者進來加深波動幅度,這時央行為了穩定匯率會進場買賣。當市場有過多外幣時,就進場買進外幣,以避免台幣升值。相反的外幣過少時,會釋出外幣避免台幣過度貶值。央行外匯操作所用的銀彈就是一國之外匯存底,對付短線投資客之投機行為是足夠的,但對於結構性之失衡壓力,通常也是央行所無能為力的。

有效匯率指數 Effective Exchange Rate (EER)

對於不同時間點的匯率變化也是投資者有興趣的,有效匯率指數可以讓我們了解與主要貿易國之間的匯率,於不同時間點的變化情況。既然是指數那麼一定有個時間的比較基準點,而且將那基準點的值也一定為100。可是國內對每個國家之匯率均不同,該以哪幾個國家的匯率為代表才具有實質意義呢?所以EER的計算是依國內與各不同國家之貿易比重分別給予不同之權重。外匯市場基金會所下載的有效匯率指數的基期是2000年,也就是所有數值都是以2000年為基準所比較而來的,數字大於100代表相較於2000年匯率整體來說是升值,小於100就是貶值的。例如2008年12月的EER指數是84.97,這意思是說跟2000年比起來,台幣對外匯率整體來說貶值了約15%(100-84.97)。到底是相對美元貶值或者對日幣就無法從這數據得知了,這是經過貿易比重加權得來的結果,所以用『整體來說』來敘述是最恰當的了。

EER

EER有名目有效匯率(Nominal EER)及實質有效匯率(Real EER)兩種,名目有效匯率只單純考慮匯率於時間點之變化,然而實質有效匯率是將貿易對手國之通貨膨漲率也考慮進去後,也就是具有相對購買力平價的效果。以2008年12月的Real EER指數是82.48,意思是說:將對手國通貨膨帳率也考慮進去的話,2008年12月的匯率和2000整年比起來,實質上是貶了17.5%。也就是說2000年~2008年台幣通膨程度比起對手國還嚴重一點點。

台灣的有效匯率指數可以由財團法人台北外匯市場基金會下載。 BANK FOR INTERNATIONAL SETTLEMENTS (BIS) 有EER Excel檔案可下載,網址如下:http://www.bis.org/statistics/eer/index.htm 。BIS除了有台灣的EER,還可以看到其他各國的EER。而且對手貿易國的權重也有。

結論

雖然經濟學家試圖用許多模型去解釋匯率的變動,但是也都只能以長期的觀點來解釋,而且就算是購買力平價理論看起來比較讓人可接受,不過除了經濟學人那簡單的麥當勞指數外,似乎各國並沒有很確實的數據可參考。而且,匯率的短線走勢和市場供給需求有相當的影響,尤其加上短線投資者的投機炒作,讓匯率變的非常難以預測。不過雖然匯率影響因素那麼多,但整體說起來了解匯率當中的理論模型,再配合國際收支、通貨膨漲率、利率以及EER這些數據的輔助,還是可以讓我們對匯率的長線變化有更多的掌握。

實用連結

中央銀行全球資訊網 (尤其是統計資料部份)

鉅亨外匯教室

台北外匯市場指南




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怪老子理財首頁

年化報酬率

張貼者:2011年11月14日 上午2:32台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2011年11月14日 上午2:32 ]

有人要跟你借款10萬元,言明到期後會償還13萬元,也就是事後有3萬元的利息,若先不考慮信用問題,請問你願意借錢給他嗎?

這個交易看似不錯,借10萬元有3萬元的利息,總共有30%的報酬率。可是借款人只說「到期」會償還,並未指明何時。如果一年後可以拿回13萬,這30%的報酬率肯定不錯,但若是2年、3年、5年,甚至於10年後才可以拿到,這樣是否值得,這當中又該如何來衡量?

其實貸款雙方最想知道的是:到底年利率每年是多少%,而不是像5年30%這種敘述。就好似去市場買菜,若菜販告訴你5斤30元,你一定立即換算一斤6元,因為這樣才能相互比價。問題是投資是以複利計算,可無法像買菜一樣,直接用簡單算術去算。

年化報酬率的觀念,就是解決這類問題最好的辦法。若這10萬元是拿到銀行去存(跟借錢給銀行好似沒差別),5年後拿回本利和13萬元,那麼這銀行相當於提供了5.39%年利率。表一是10萬元,以利率5.39%存款,每一年的本利和複利成長的明細,可以清楚看出5年後累積了本利共13萬元。也就是說:以十萬元存銀行,利率每年5.39%,5年後可以領回13萬元,這5.39%也就是年化報酬率。

表一:10萬元本金、年利率5.39%,1~5年之本利和

年化報酬率公式

至於這5.39%如何得來呢?只需套用下列公式,即可輕易得到:

所以,年化報酬率 = (130000/100000)(1/5)-1

以Excel公式計算:
=(130000/100000)^(1/5)-1 = 5.39%

將上述年化報酬率公式,代入不同的年數,便可以得到圖一:30%的報酬,不同年數之年化報酬率。

圖一:不同年數對年化報酬率之變化

由圖一的數字可以看出,若30年後才拿回13萬,不過相當於年化報酬率0.9%,比起定存的利率還不如呢,更別談還有信用風險以及其他風險得承擔。

累積報酬率與年化報酬率之關係

累積報酬率 = 期末金額/期初金額 - 1
    期末金額/期初金額 = 累積報酬率 + 1

所以年化報酬率亦等於:
年化報酬率 = (1 + 累積報酬率)1/年數 - 1


年化報酬率的應用

年化報酬率應用非常廣泛,只要跟投資相關都可以用年化報酬率來表示。

基金投資

例如股票型基金,期初以買入基金10萬元,5年後該基金淨值13萬,雖然累積報酬率為30%,換算成年化報酬率只有5.39%。

某些基金的月報表也會用年化報酬率來表達,圖二是節錄自某一債券基金的月報表,除了累積報酬率外,上面亦會載明年平均,其中的年平均就是年化報酬率。
圖二:基金月報表

房地產投資

若20年前以500萬買入房地產一筆,現在增值為1,500萬,雖然高達200%的報酬率,但換算成年化報酬率:

=(1500/500)^(1/20)-1
=5.65%

卻只有5.65%。這代表20年前若不買房地產,投入其它每年5.65%標的,同樣的現在的淨值也會是1,500萬,一點都不輸房地產。當然,上述計算並未考慮租金收入,若將租金收入列入考量,報酬率會高出許多。

結論

貨幣是有時間價值的,同樣的投資金額與回收,當發生的時間點不同,所代表的意義就不一樣。累積報酬率考慮時間的因素後,就成為年化報酬率,也是衡量投資績效最好用的工具之一。而且銀行存款或貸款之年利率等,也是年化報酬率的一種,非常適用於各種投資工具之相互比較。




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投資報酬率的深入探討

張貼者:2011年11月14日 上午2:30台灣財富管理規劃發展協會

大部分的投資者都自認已經了解如何計算投資報酬率,其實一般人所了解的投資報酬率都還是一知半解,一旦投資情況較為複雜,就不知道如何正確計算了。這篇文章不僅能讓你正確了解投資報酬率的計算方式,亦將提出現金流量觀念,利用Excel提供的內部報酬率IRR函數,輕易的算出任何複雜投資情況的投資報酬率。

投資報酬率公式

投資報酬率公式如下:

投資報酬率 = (期末淨值 - 期初投資) / 期初投資

簡單說就是投資標的賺了(或賠了)相當於投資金額的百分比。10%的投資報酬率代表賺了投資額的一成。所以如果投資100萬就相當於賺了10萬。那麼100%的投資報酬率也可以說等於賺了一個資本。

例一:投資100萬於某基金,三個月後該基金現值103萬,由上面公式便可計算報酬率:(103-100)/100 = 3%
例二:投資另一基金50萬元,已經投資三年了,基金現值60萬,同樣利用公式計算報酬率:(60-50)/50 = 20%
例三:投資定存100萬元,一年後連本帶利領回102.5萬,所以報酬率等於2.5%,幾乎等於銀行的牌告定存利率。

年化報酬率

前面三個例子的報酬率,一個是3個月3%,另一個是3年20%,最後則是1年2.5%。每個報酬率的計算期間都不同,我們如何知道那一個投資表現比較好呢?這就好像在市場買水果時,有人賣3斤50元,也有人賣半斤10元,如何知道那一攤賣比較便宜?小學裡就有學到,必需換算成每斤多少錢,才可以直接比較。投資報酬率也是一樣,必須換算成等值的“一年”報酬率,又稱為年化報酬率,才可以知道那一個表現最好。但是,投資報酬率可不像水果,每斤多少錢可以直接除就可以。因為投資行為是以月複利計算,雖然無法直接用除法,但也還是有公式可循。

年化報酬率 = ((1+Rm)1/m - 1)*12 ; m是月數;Rm是報酬率

根據以上公式可算出前三個例子的年化報酬率:
例一: ((1+3%)1/3 - 1)*12 用Excel計算 =((1+3%)^(1/3)-1)*12 結果11.88%
例二: ((1+20%)1/36 - 1)*12 用Excel計算 =((1+20%)^(1/36)-1)*12 結果6.09%
例三: ((1+2.5)1/12 - 1)*12 用Excel計算 =((1+2.5%)^(1/12)-1)*12 結果2.47%

以上的Excel公式(本文藍色斜體都可以直接複製到Excel的儲存格裡)。
經由以上結果可以一眼望出例一的表現11.88%最為亮眼。

年化報酬率相當於銀行的定存牌告年利率,以例一來說,相當於存100萬到銀行以年利率11.88%,三個月後會拿回103萬。這樣便可以輕易看出年化報酬率的意義了。

複雜之投資報酬率

如果資金只有單筆投入而且沒有配息或部分贖回,那麼簡單的套用投資報酬率公式就可得到結果的。問題是大部分的投資行為都不是那麼單純,一般的股票每年固定會配息,而且同一檔股票於不同時期會買賣多次。債券基金除了淨值會波動外,而且每月會配息。類似這些情形,投資報酬率又是如何算呢?利用現金流量的觀念,使用Excel的內部報酬率IRR函數,可以準確及快速的算出非常復雜的投資報酬率。

一般坊間算法

一般坊間都使用簡單的計算方式:

投資報酬率 = 盈虧加總 / 投資額總計

這種算法是不考慮金錢的時間價值的算法,會造成報酬率很大的誤差。舉個極端的例子來說,同樣以100萬元投資台積電股票,三年後股票漲了一倍,賺了100萬,所以投資報酬率為100%,就在此時又投資100萬元加碼台積電股票,請問總投資報酬率如何算?一般投資者的算法是非常直接,將所有賺的錢除以全部投入金額加起來不就好了。根據這方法,全部投入金額已增加為200萬,可是只賺了先前的100萬。哇!投資報酬率一下子只剩下50%。怎麼會這樣,加碼前還有100%報酬率,怎麼會加了碼,立即少了50%的報酬率?這都是沒有考慮金錢的時間價值的結果。

當然以上舉的例子是極端了些,主要目的是要凸顯未計入時間價值的落差。另外再舉一個較實際的例子:
例四:每股100元買兩張(2000股)台積電股票,到了第6個月再以110元/股另行添購一張,直到第12個月,才將3張已漲到120元的台積電股票全部出清,請問整體投資報酬率為多少?

若用坊間算法:

總資額總計投入:310,000 (=100 *2000 + 110*1000)
盈虧加總:50,000 (=(120-100)*2000 + (120-110)*1000)
投資報酬率:50,000/310,000 = 16.13%。

這樣的算法是不正確的,因為第一次買的20萬元股票投資期間是12個月,然而第二次加買的11萬元,卻只有6個月的投資期:不同時期投入的資金,不可直接簡單的相加,去算投資報酬率。如果你把同樣的錢拿去銀行放定存,銀行可是會用複利來計算你的投資金額的。

正確的算法是模擬銀行的定存計算方式,將20萬元放定存一年,加上11萬放定存半年,到期後銀行會給付36萬,那麼算出類似這種給付方式的定存牌告年利率會是多少?這個牌告利率等於該投資的年化報酬率。銀行的計算的方式是這樣的:(天啊!怎麼又有數學。放心,不喜歡的人直接跳到內部報酬率章節吧!)

設年利率r,每月複利一次所以月利率等於 r / 12
200,000經過12個月的複利得到:200000*(1 + r / 12)12
110,000經過 6個月的複利得到:110000*(1 + r / 12)6

所以將下列公式求出r就是年化報酬率了:

200000*(1 + r / 12)12 + 110000*(1 + r / 12)6 = 360000 --------------------------- (1)

等號左邊就是投資部份的錢,等號右邊是到期拿回金額。糟糕,公式列得出來卻無法直接解,只能用代入法找出符合的值。所幸Excel IRR函數提供了我們便利的計算方式,可以快速得到r = 18.2025%,先不用管這數字是如何得到的,之後會有交代。可以用下列方式驗算,因為月利率等於年利率除以12,所以

月利率 =18.2025% / 12 = 1.51687%,因此:

200000*(1+1.51687%)12 + 110000*(1+1.51687%)6 = 239,601 + 120,399 = 360,000
Excel公式 =200000*(1+1.51687%)^12 + 110000*(1+1.51687%)^6

現金流量圖

上圖是例四的現金流量圖,實心的長條圖代表實際的現金流量。水平軸以上實心長條代表現金流出,以下實心長條代表現金流入。觀察上圖實心長條的數量剛好和公式(1)的項目數量一樣,都是3個。空心長條代表現金流量的終值,到期時:現金流出的終值加總 = 現金流入的終值加總

例五:
範例四並沒有談到股利發放,延續上例,增加了第3個月每股發放3元的股利,那麼整體報酬率又該如何計算呢?
同樣的,先把公式列出來,再利用Excel求出r即可。
200000*(1 + r / 12)12 + 110000*(1 + r / 12)6 = 360000 + 6000*(1+r/12)9----------- (2)

等號左邊就是現金流出(下圖的上半部),等號右邊是現金流入(下圖的下半部)。公式(2)的等號右邊有兩項,除了到期拿回的36萬元,應該還要加上第三個月拿到的股息6000元,但這股息一樣享有時間價值,所以應該有9個月的複利效果。現金流量如下圖:

現金流量圖二
再次利用Excel IRR函數求得r = 20.55%
200000*(1 + 20.55% / 12)12 = 245,195
110000*(1 + 20.55% / 12)6 = 121,796
6000*(1 + 20.55% / 12)9 = 6,991

245,195 + 121,796 = 6,991+360,000 = 366,991

內部報酬率(IRR)

上述求得報酬率的方法是要求到期時,所有現金流出的終值,必須等於現金流入終值,經由這樣的條件所算出的報酬率稱為內部報酬率(Internal Return Rate)。Excel提供了相當簡單的內部報酬率算法,只需要如下圖將每期的現金流量(B3~B15)列出來,然後於B16的儲存格輸入公式 =IRR(B3:B15),就會算出內部報酬率(IRR)了。因為一個月為一期,所以算出來的IRR為月報酬率,將月報酬率乘以12就可以得到年報酬率了。
下載本文使用之EXCEL檔案

IRR

每一期可以是任何期間,一年、一季或一個月,端看多久計算複利一次。若一個月為一期,算出來的IRR為月報酬率;若一年為一期,算出來的IRR則為年報酬率

要注意的是必須弄清楚,現金流量部份有正負之分。一般用法是現金流出為負數,現金流入為正數。例如拿出了20萬元及11萬元去買台積電股票,屬於現金流出所以是負值;配息6000元及賣出股票所得36萬元則是現金流入,當然就是正數了。

IRR之應用

因為IRR只需列出現金流量便可算出報酬率,應用之廣泛實在超乎想像。

整存整付定存

100萬放銀行整存整付定存,一年後拿回103萬,求銀行牌告年利率

整存整付

月配息債券基金

買200,000債券六個月配息如下,650/700/600/800/530/652,最後淨值203,000,求月報酬率及年報酬率。

債券基金

汽車貸款

車貸40萬分24期,每期繳款18,458元,求貸款年利率

汽車貸款
因每期繳款固定,亦可用RATE函數 =RATE(24, -18458,400000)*12,結果一樣都是10%。

股票買賣

30元/股買進中鋼10張,第3個月配息2元/股,第5個月以33元/股賣出4張,第8個月以26元/股再買6張攤平,最後於第11個月時以30元賣出所剩12張股票,求該項投資之年報酬率。

中鋼股票

標會

一年期之標會,外標型態,每會10,000元,第2個月標450、第3個月標320、第4個月標500,第5個月時以460將該會標下,相當於年利率多少的貸款?

標會

附註:貨幣的時間價值

因為本文裡提到貨幣的時間價值,一提到金錢的時間價值就會用到複利公式。這裡特別將複利的觀念及公式複習一下,也提供初學者一些入門。

如果將本金100元以年利率10%存到銀行。第一年底時會得到10元的利息再加上本金100元,總共110元稱為本利和。第二年初將第一年底的本利和110元當作本金繼續存,第二年底時就會得到11元利息,再加上期初本金110元,總共121元。每期期末時,將期末本利和當作下一期的期初本金的計息方法稱為複利。

  期初本金 利息 期末本利和
第一年 100 10 110
第二年 110 11 121
第三年 121 12.1 133.1
第四年 133.1 13.31 146.41
第五年 146.41 14.641 161.051

複利

上述例子是以一年結算一次利息,所以屬於一年複利一次。複利計算時間可以是一年、一季、一個月或者一天,但一般銀行的計算是以一個月為一期。

我們看第二年底的121是如何得到的:

設每一期初為A利率為r,期末利息為A乘以r,期末本利和 = A + Ar = A(1+r)。所以期末本利和為期初的(1+r)倍。上述例子r = 10% = 0.1,所以1+ r = 1.1
121 = 110 x 1.1
= (100 x 1.1) x 1.1
= 100 x (1.1 x 1.1)
= 100 x 1.12
= 100 x 1.21

第二年期末值121等於100元乘以1.12

133.1= 121 x 1.1
= (110 x 1.1) x 1.1
= (100 x 1.1) x 1.1 x 1.1
= 100 x 1.13
= 100 x 1.331

第三年期末值133.1等於100元乘以1.13
可以看出經過 t 年時, 終值或稱未來值(Future Value)的公式如下:

FV = PV*(1 + r )t

用上述的公式,可以算出本金100元、10%年利率5年後的終值
=100*(1+10%)5 = 161.051

Excel 公式 =100*(1+10%)^5

月複利範例

銀行都採用每月複利一次計算,用年利率2.2%來計算,存1萬元一年後可取回多少?
月利率 = 年利率 / 12 = 2.2% / 12 = 0.18333%
FV = 10000*(1+0.18333%)12 = 10,222

Excel 公式 =10000*(1+0.18333%)^12

比起一年複利一次的結果10000*(1+2.2%)1 = 10,220還多了2元,還不錯啦!

現值 PV

PV = FV / (1 + r )t

現值的意義是將未來的貨幣換算成當今的價值。例如預計五年後小孩留學基金美金5萬元,如果美金定存年利率5%,現在該準備多少錢?

PV = US$50,000/(1+5%)5 = 39,176 ;
EXCEL公式 =50000/(1+5%)^5

意思是現在存US$39,174五年後自然會變成US$50,000。


現金流量-Cash Flow

張貼者:2011年11月14日 上午2:28台灣財富管理規劃發展協會

在投資理財領域裡,現金流量幾乎決定了整個投資的成敗。也有人說,給我現金流量,其他免談,可見現金流量的重要性。那麼現金流量到底是什麼呢?為什麼它那麼重要!

一個投資案隨著時間的改變,所產生一連串的現金流入及流出,就稱為現金流量。雖然現金的流動可能發生於任何時刻,一般實務的做法是將時間劃分成許多期間,每一期間內紀錄現金進出的總淨值。例如投資一萬元於銀行『存本取息』,約定年利率12%(月利率1%)、一年期。類似這樣的投資活動,期初拿出10,000元,然後每月底收到100元利息,到最後一個月底拿回本金10,000元外加一期的利息,所以總共是10,100元。這樣的現金流量最容易了解的表達方式是以表格呈現。因為現金流量裡分別有現金的流入及流出,最簡單方式是以正負號分別來代表資金的流向,負值代表獻金流出,正值代表現金流入。下圖就是這『存本取息』範例的現金流量。

現金流量有何用途

如果事先不說這是銀行的『存本取息』,而只是給一張上圖的現金流量表,從這表裏面除了可以知道每期進出之金額外,還可以知道哪些資訊?除了可以知道這些現金流量的未來值與現值外,其實投資者最想知道是一個投資案,有辦法知道這當中的報酬率是多少嗎?

最簡單的方式就是將第一期至最後一期的每一筆現金流量以利率rate折現回來,再將每期之現值加總,亦就是計算1~12期的總現值。因為現值是根據利率rate折現,只要調整rate就會改變總現值,那麼當調整到總現值為10,000的利率,就是這現金流量的報酬率,或稱利率。

PV = 100/(1+rate)1 + 100/(1+rate)2+ 100/(1+rate)3+ 100/(1+rate)4+ 100/(1+rate)5+ 100/(1+rate)6+ 100/(1+rate)7+ 100/(1+rate)8+ 100/(1+rate)9+ 100/(1+rate)10+ 100/(1+rate)11+ 10100/(1+rate)12

因為第0期也就是期初投入了10,000,只要能解出PV=10000的rate,就是這項投資的報酬率了。這是一個12次方的方程式,如果不利用電腦科技還真解不出來呢!

以Excel IRR函數計算

電腦就是這麼神奇,Excel的IRR函數可以輕鬆的算出rate是多少,只要輸入所有現金流量當參數:

rate =IRR(B4:N4) = 1.00%

這是每期(月)1%的利率,年利率必須再乘上12,就是12%。

我們來驗算看看,將下列公式複製到Excel儲存格去計算,哇哩咧~~~還真的是10000:

= 100/(1+1%)^1 + 100/(1+1%)^2 + 100/(1+1%)^3 + 100/(1+1%)^4 + 100/(1+1%)^5 + 100/(1+1%)^6+ 100/(1+1%)^7+ 100/(1+1%)^8+ 100/(1+1%)^9+ 100/(1+1%)^10+ 100/(1+1%)^11+ 10100/(1+1%)^12
=10,000

或者用Excel NPV函數計算也是一樣

=NPV(1%,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,10100)
=10,000

注:本網站慣例,藍色斜體就是Excel公式,可以直接複製到Excel儲存格裡

現金流量反推報酬率

從上述的例子可以看出,一個特定投資案隨時間改變,會產生一連串的現金流量。相反的,只要看這些現金流量也可以反推這投資案的報酬率。所以說要計算一個投資案的第一件事,就是列出所有的現金流量,然後藉由這些現金流量算出報酬率。這也就是為何現金流量在財務管理扮演著那麼重要的角色。

現金流量

淨現金流量

一個投資案,每期當中或許有多筆的現金流動,但是只要列出當期流入及流出的淨值即可。

貸款案例

例如一個100萬的貸款案,期限3年,每年底付息一次8萬元,到期一次全部還清。期初會撥款100萬元,扣除代書費6,000元,保險12000元。由銀行的角度來看,期初有3筆現金流量,分別為-1,000,000、6,000及12000,所以期初的淨現金流量為:

=-1000000 + 6000+12000 = -982,000

那麼貸款案全期的現金流量如下圖(儲存格B4~B7):

貸款案例

將這現金流量輸入Excel的IRR函數,就可以得到年化報酬率了。

=IRR({-982000,80000,80000,1080000})=IRR(B4:B7)
=8.71%

這就是貸款的實質利率。

房屋出租例子

再舉一個包租公的例子,買一間800萬房子來出租,自備款200萬,600萬貸款,利率2.5%、期限20年。租金每月可收取25,000元,十年後若房價持平,請問這投資案報酬率如何?

對投資者而言,只需拿出200萬就可擁有800萬的資產來生利,真是不錯。要計算報酬率還是一樣將每月淨現金流量列出來。第0個月也就是期初拿出2,000,000,之後的1~120月因為有600萬貸款,每月得付貸款本息

=pmt(2.5%/12,240,6000000)
=-31,794
這部份也可以使用多段式房貸利率試算表(如下圖)

不過每月有租金收入25000,所以每月淨現金流量
=25000-31794
=-6,794

貸款表格輸入

到了十年底將房屋賣掉得款800萬,但是當時銀行貸款餘額為3,372,675(可以由試算得知)。所以120期的淨現金流量多了2筆金額,房賣收入及貸款餘額,
=8000000-3372675+25000-31794
=4,620,531

那麼房屋出租全期的現金流量如下表:

期初
-2,000,000
第1期
-6,794
第2期
-6,794
第3期
-6,794
.....
....
第119期
-6,794
第120期
4,620,531

將這些現金流量輸入IRR就可算出『每期』利率,再乘以12就是年利率了。

房屋出租投資案

其實以上的例子也可以用Excel的RATE函數來計算,答案一樣:
=RATE(120,-6794,-2000000,4620531)*12
=5.7%

對房屋出租有興趣的讀者可以參考『購屋出租投資報酬率』這一篇,有非常詳細的介紹,而且還有功能強大的網路試算功能。


範例Excel檔案下載





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怪老子理財首頁

年金 (Annuity)-應用篇

張貼者:2011年11月14日 上午2:26台灣財富管理規劃發展協會

本篇是年金(Annuity)-理論篇的延續,主要是教導如何解決實務上所碰到的年金問題。還沒閱讀理論篇的讀者,建議應該先行瀏覽該篇文章,這樣會增強學習效果。在理論篇裡提供了一個Excel試算表,在這裡讀者將會看到這試算表多有威力,幾乎任何年金問題都可迎刃而解。

範例Excel檔案下載

範例一:退休規劃(一)

Michelle現年25歲,預計50歲退休,於每年底將存款30萬元,投資於5%的報酬率的商品,請問退休時擁有多少退休金?

這例子是每年為一期,每期30萬元(儲存格B1),因為每年都投入同樣金額,所以成長率為0%(儲存格B2),每年(期)利率為5%,總共有25期,答案就是儲存格C12 = 14,318,130

退休規劃

範例二:退休規劃二

Michelle現年25歲,預計50歲退休,今年底可以有存款30萬元,而且年底存款以每年3%往上升,所有存款投資於5%報酬率的商品,請問退休時擁有多少退休金?

這例子是每年為一期,每期30萬元(儲存格B1),因為每年投入金額以3%成長,所以成長率為3%(儲存格B2),每年利率為5%(儲存格B3),總共有25期,答案就是儲存格C12 = 19,388,655

退休規劃(二)

範例三:貸款餘額

James有一貸款,年利率3.5%,知道尚有52期未繳,每期繳款21,000元,請問James貸款餘額還剩多少?

此例子因為每期為一個月,所以利率必須使用月利率(儲存格B3 = 3.5%/12),總共有52期。年金(期末型態)的現值代表的就是貸款餘額。答案就在儲存格E12 = 1,011,857

貸款餘額

範例四:設備維修成本

某一公司機器設備,使用年限10年,第一年的維修費用是1萬元,且每年以3%遞增,若該公司資金成本為8%,求該機器所有維修費之現值?

第一期金額(儲存格B1 = 10000),成長率(儲存格B2 = 3%),每一年為一期,每期利率(儲存格B3 = 8%),總共有10期,這些可視為等比年金來處理,只要求年金現值即可(儲存格E12 = 75,501)。

設備維修成本

範例五:退休規劃三

條件同範例二,但是若退休時希望有退休金3,000萬元,那麼第一年該存多少錢?

這是一個較進階的做法。這一題的解法很簡單:可以『手動』反覆調整第一期的金額(B1儲存格),直到年金(期末型態)的未來值為3,000萬為止。只是這樣要調到很準確也不容易,還好Excel的『目標搜尋』可以很快速的找到答案。

1) 下拉選單:工具->目標搜尋
2) 會出現下圖的『目標搜尋』小視窗
3) 按下圖顯示填入資料後,按確定

退休規劃(3-1)

4) 就會出現下圖,答案就在儲存格B1 = 464,189

退休規劃(3-2)

範例六:退休規劃四

條件同範例二,第一年存款也是30萬,但是若退休時希望有退休金3,000萬元,請問該選投資報酬率多少的商品?

這例子也是使用『目標搜尋』來找尋符合條件的每期利率,差別只是將目標搜尋裡的『變數儲存格』由B1改成B3而已,其他使用方式一樣。

退休規劃(4-1)

下圖為範例六答案:8.38%

退休規劃(4-2)



年金 (Annuity)-理論篇

張貼者:2011年11月14日 上午2:24台灣財富管理規劃發展協會

只要是每一固定時間都有一筆收入或支出的財務型態都稱為『年金』。在生活周遭中有許多數不清的年金例子,諸如房屋貸款、分期付款、年金保險、國民年金等都是屬於年金的一種。這裡除了學到年金的概念之外,更將學會使用Excel解決各式各樣複雜的年金計算。

年金的型態

年金到底長的像什麼樣子呢?從現金流量圖最能看清楚年金的樣貌,還很輕易的分辨出年金的種類呢!。

定額年金

定額年金就是每期的現金流量都是同等金額,如下圖所示現金流量圖看起來是平的。例如分期付款、房屋貸款以及銀行的零存整付定期存款,都屬於定額年金的範疇。

定額年金

變額年金

變額年金顧名思義就是每期的金額都不一樣。變額年金基本上分兩種:一種是每期以前期一定比例成長,另一種是每期金額都不一樣,而且沒有規律。

固定比例成長之變額年金

固定比例成長之變額年金是:每期的現金流量會以一定比例(g)成長,也就是當期的現金流量是前一期的(1+g)倍。例如保險公司為了解決通獲膨脹的問題,設計了一個年金保險,每年(期)所領的年金是去年的(1+2%)倍,這2%就是保險公司認為的通貨膨脹率。或者因應薪資收入會隨者時間成長,銀行也可以提出另一種貸款的還款方式:每期的還款金額是前期的(1+g)倍,這樣借款者就可在自己能力之下,較快的還清貸款。

變額年金

非固定比例成長之變額年金

非固定比例成長之變額年金是:每期的現金流量並沒有一定規則可循,不過『通常』會圍繞於隱含的平均線上下波動。最典型的例子是與投資商品連動之年金保險。為求取更大的報酬,某些年金保險將一部份保險金額和投資商品連動,這樣的年金給付就每年不是很確定,得依投資狀況而定了。因為只有一小部分拿去投資,所以基本上每年給付金額會在一固定金額上下波動。波動的程度則和投資比例有關。

變額年金(2)

期初與期末

不論何種型態的年金,每期的現金流量還有『期初』以及『期末』之分。以下圖的定額年金為例,分上下兩個現金流量,同樣都是6期,每期金額都是100元,但是上面的現金流量都發生於每期之期末,下面的現金流量都發生於每期之期初。

舉個例子來說,Peter計畫於每年的『年初』存入1萬元,期間為10年,年利率5%,求10年底時的終值。因為都在年初存錢,所以這就是一個期初的年金。另外一例是,Rose跟銀行貸了一筆款項,期間為2年,年利率5%,約定每月『月底』償還本息2萬元,求貸款金額。這個例子每月為一期,總共24期,每月償還的本息均發生於期末(月底),所以這是一個期末的年金。

期初與期末

如何計算年金現值及終值

關於年金投資者最想知道的是年金的終值或現值。例如每月存一萬元款的零存整付定期存額,一年到期後可領回多少錢。又如每月繳房貸2萬元,以年利率3%繳了20年,到底值現在多少錢?

這些年金的現值與終值都有公式可以計算,不過要了解那些公式可是需要點數學功力,尤其是固定比例成長之變額年金更是複雜難懂,更別談非固定比例之變額年金沒有公式可算。怪老子並不想探討這種老式的學習方式,而是提供一套通用的Excel財務模型,計算所有年金的現值與未來值,讓所有型態的年金都可適用。

單筆之現值與終值

年金其實就是有多筆現金流量的意思,最簡單的計算方式是:將每一期的現金流量當做單筆來計算現值或終值,然後加總每一筆的現值或終值。設單筆之金額為PV,以每期利率rate經過n期後,單筆終值公式:

FV = PV*(1+rate)n -------公式(1)

例如單筆112元,以利率5%經過3期後,未來值 FV =112*(1+5%)3,以Excel公式表示:=112*(1+5%)^3 = 129.65

若未來值FV為已知,根據公式(1)可以反推單筆的現值公式:

PV = FV/(1+rate)n -------公式(2)

所有型態的年金現值及終值,都只需要用到這兩個公式。

Excel計算終值與現值

不用去管年金的公式,只要知道計算原理,便可以很輕鬆、而且非常清楚的的利用Excel將年金計算出來。首先請下載Excel範例檔案。這Excel檔案有兩張工作表:

  • 等比年金試算
  • 非等比變額年金

兩個工作表大致一樣,B欄(儲存格13以下)放的是每期之現金流量,C、D兩欄是『終值』的計算,C欄是期末,D欄是期初。E、F兩欄是『現值』的計算,E欄是期末,F欄是期初。

Excel終值與現值

年金之終值

下圖是非固定式變額年金,每期金額都不一樣,所以說只要分別將每期金額都當做一筆單筆來計算終值,然後再全部加總就好了。這種方式最適合Excel的計算了,不需要去了解那些繁複的公式,只要加減乘除就可以了。

年金之終值

上圖的現金流量表示於儲存格B13~B18,因為現金流量是都發生於期末,所以只要看C欄就可以了。C13~C18就是計算B13~B18每一『單筆』的未來值,用的都只有公式(1)。例如C13是計算B13的未來值、C14是計算B14的未來值,依此類推。儲存格C12就是年金的終值:也就是C13~C18的加總。

若現金流量是都發生於期初,如果要看終值得計算,只要看D欄就好了。D欄和C欄的計算之差別,只是單筆的期數多了一期而已,其他則沒有什麼不同。

年金之現值

年金現值的計算也是將年金每期之金額一一以單筆折現回來,然後再計算其加總。Excel檔案裡,E、F兩欄是『現值』的計算,E欄是期末,F欄是期初。下圖是期末型態的年金,所以只要看E欄就可以了。E13~E18就是計算B13~B18每一『單筆』的現值,用的都只有公式(2)。例如E13是計算B13的未來值、E14是計算B14的未來值,依此類推。儲存格E12就是年金的終值:也就是E13~E18的加總。

年金之現值

等比年金試算

前面所述都是非固定比例之年金終值及現值的計算,可以看出只要將每期之現金流量一個一個列出來,就可以立即分別算出期初型態以及期末型態的年金終值與現值。既然每期不同數值都可以算了,每期『相同』或每期『等比例成長』之金額就更容易計算。

等比年金之每期金額(儲存格B13~B18),不需要一個一個手動輸入,如下圖所示只需要輸入每期金額(儲存格B1)及成長率(儲存格B2),然後會自動計算B13~B18的值,其他和非等比例變額年金完全相同。當成長率為0%時,也就是每期金額都一樣,相當於定額年金。

等比變額年金

期末及期初之關係

不論是年金現值或終值,『期初年金』等於『期末年金』之(1+rate)倍。例如上圖期末型態的年金終值(儲存格C12)等於713.11,每期利率5%,那麼期初型態的年金終值=713.11*(1+5%) = 748.77。現值部份也是一樣,=532.13*(1+5%) = 558.74。

所以知道期末年金終值時,只要乘上(1+rate)就可立即算出期初年金終值。同理~~~知道期末年金現值時,只要乘上(1+rate)就可立即算出期初年金現值

期數的增減

雖然目前的工作表年金期數只有6期,不過這Excel的公式設計的讓使用者很容易增減期數。

增加期數

1) 在第1~6期中間插入欲增加之列數

增加期數

2) 點選第2期(下圖儲存格A14~F14),然後將將滑鼠移到儲存格F14的右下邊黑色小方塊,待+號出現後,按左鍵下拉至最後一期。也就是將第2期公式複製到其他的期數,這樣就大功告成,其他都不必改變。最後檢查一下C12的公式範圍是否由第一期加總至最後一期,如果是就沒錯了。

增加期數-2

減少期數

減少期數就更簡單了,只要將多餘的期數整列刪除掉就可以了,但必須要注意從最後一期往前刪除

如果讀者要增加期數的話,只需將最後一列複製起來,然後貼上所要增加的期數即可,其他公式都不必改變。只是圖表的部份需要手動改變範圍。

年金的應用

因為篇幅實在過大,有關使用年金的應用另外以一篇文章來呈現:年金(Annuity)-應用篇,裡面利用本篇的所製作的Excel來解任何複雜的年金問題,讓應用變得很簡單清楚。點選下圖也可以連結該網頁

年金的應用

結論

透過Excel的年金現值及終值計算的分解動作,除了可以清楚了解年金終值的意義外,還可以將很複雜的變額年金變得非常簡單處理。管他的什麼年金公式,還用到等比級數來計算公式,全部把它丟到腦後!

附註:

定額年金的公式:

pmt:每期金額;rate:每期利率;nper:期數

年金終值公式(期末):

年金終值公式(期初):

年金現值公式(期末):

年金現值公式(期初):




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複利-完全攻略篇

張貼者:2011年11月14日 上午2:22台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2011年11月14日 上午2:23 ]

想徹底了解複利的讀者,一定得詳加閱讀,本篇對複利有精闢的解說,讓你完全了解複利的意義及其計算方式。

單利

了解複利之前一定得先知道單利是什麼,因為單利與複利之間有著密不可分的關係。複利一定有付息期間,也就是在當期的最後一天,才將利息加到本金上,在期間內所產生的利息均是以單利計算。例如「每月」付息一次的複利,只有在每月的最後一天才以「單利」算出利息,然後再將此利息加上期初的本金,做為下一期計息的本金。這樣的複利也稱作月複利。同樣道理,若每季計息一次,就稱作季複利,意思是當季內產生的利息都是以「單利」計算。

單利的意義:不論付息期間是多久,所茲生的利息均不會加入本金再循環計息,也就是說計息的本金從期初到期末都是一樣的。這樣單利公式就變得很簡單:

設期初本金為 PV,名目利率為 Rn,期間為"t" 年,所以一年會產生的利息金額就是 PV* Rn,再乘上期間"t",就是單利的公式了:

利息 = PV*Rn*t

期末終值(FV)
= PV + 利息
= PV + PV*Rn*t
= PV*(1+Rn*t)
---------公式(1)

Rn為名目年利率,t 為年數,不足一年以小數或分數表示。例如一季就是(t=1/4),Rn*t 等於 Rn/4。依此類推一個月(t = 1/12),一日(t=1/365),半年(t=1/2)。

單利

上圖是100元隨著時間(單位:年)以單利成長,可以看出不論時間多長、利率多少,終值或未來值都是以直線上升。

例一:張三跟朋友借款100萬元,約定利息以年利率6%『單利』計算,3年後還款。請問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢?

本金(PV) = 1,000,000
年利率(Rn) = 6%
年數(t) = 3

期末終值(本利和)= 1000000*(1+6%*3) = 1,180,000

例二:李四跟朋友借款10萬元,約定利息以年利率10%『單利』計算,借款3個月,請問期末李四必須償還朋友多少錢?

本金(PV) = 100,000
年利率(Rn) = 10%
年數(t) = 3/12

期末終值(本利和) =100000*(1+10%*(3/12)) = 102,500

Excel檔案下載

這裡提供一個Excel檔案供讀者下載,裡面共有四張工作表,都是本篇會用到之試算,分別為:

  • 單利
  • 複利
  • 複利次數之影響
  • 實質利率

複利

單利的計息方式對貸款者(出借方)似乎不是很公平,因為利息必須等到期末才拿得回來。如果將貸款期間縮短,就可早點拿到利息,這些提早拿回的利息,還可以借給別人生息呢!哈~~~如果世界上只有單利存在的話,那些貸款者將會拼命的將貸款期間縮短,因為那樣對他們會比較有利。

其實比較合理的方式是於借貸期間多了一個『付息期間』,就是每間隔多久結算一次利息。也就是每過一個付息期間,借款者就必須支付貸款者利息。這樣有時候也很麻煩,借款者支付利息非常頻繁,於是就有借款者希望不要每期都支付該筆利息,同意將利息加入本金,做為下期的計息本金。也就是將付息期間一到,變自動將『利息轉貸款』的意思,這就是複利的基本精神。

付息期間

付息期間內以單利計息

付息期間可能是一年、半年、一季或者一個月,甚至於是一個日,全依金融商品而異。付息期間內是以單利計算利息的,只有在付息日才會結算一次利息,然後把利息加入本金當做下一期的本金。例如銀行貸款以及定期存款的付息期間都是一個月,就是一個月結算利息一次,也可以說一個月複利一次的意思。又如債券的付息期間都會載明於債券上面,有每年付息一次的,也有半年付息一次。

複利計算公式

假若本金為PV,每一期之利率為rate,那麼 n 期後之本利和(FV):

FV = PV*(1+rate)n ---------公式(2)

這公式的意義是說:每經過一期(付息期間),就將上期之『期末終值(本利和)』乘上(1+rate)。一開始之期初金額為PV,所以經過 n 期後,期末終值就等於將PV乘上(1+rate)的n次方了。

複利

上圖是100元隨著時間(單位:年)以複利成長,可以看出複利終值並非直線,而是以指數成長的,愈到後面成長力道愈大。尤其當利率愈高時,彎度愈大。用數學的語言說:愈到後面,斜率愈大,也就是愈後面每年所成長金額愈大。舉個例子來說:以期初投入100元、2%及18%例,來瞧瞧20年後兩者相差多少?

 
2%
18%
1年
102
118
20年
149
2,739

到第一年底時只差了16元,可是20年後可是天壤之別,2%利率只有149元,18%卻有2,739元。

複利公式推導

期末終值(本利和):
= 期初本金 + 利息
= 期初本金 + 期初本金 *rate
= 期初本金*(1+rate)。

意思是每期末的終值等於該期之期初本金乘上(1+rate)。下表列出1~n期之『期末本利和』之明細,每期之『期末本利和』又當做下一期的『期初本金』去計息。所以第2期之『期初本金』等於第1期之『期末終值』;第3期之『期初本金』等於第2期之『期末終值』,依此類推。可以看出第 n 期之期末終值(FV) = PV*(1+rate)n

期數
期初本金
期末終值 (FV)
0
PV
1
PV PV*(1+rate)
2
PV*(1+rate) PV*(1+rate)*(1+rate) = PV*(1+rate)2
3
PV*(1+rate)2 PV*(1+rate)2*(1+rate) = PV*(1+rate)3
....
n
PV*(1+rate)n-1 PV*(1+rate)n

例如:張三跟朋友借款100萬元,約定利息以年利率6%複利計算,3年後還款,每年計息一次。請問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢?

FV =1000000*(1+6%)3 =1000000*(1+6%)^3 =1,191,016

第1年 = 1000000*(1+ 6%) = 1,060,000
第2年 = 1060000*(1+ 6%) = 1,123,600
第3年 = 1123600*(1+ 6%) = 1,191,016

通用複利公式

公式(2)比較容易令人混淆的是每期利率(rate)及期數(n)。因應付息期間的不同,每期利率及期數算法均有些不同。有無一個通用的式子可以全部都適用呢?例如一般金融機構所都是使用年利率(或稱名目利率 Rn),名目利率就是去銀行時掛在牆壁上讓大家看的利率表,又名掛牌利率(現在利率變動頻繁,很多銀行現在都改成了LED顯示)。那麼,可以直接使用『名目利率(Rn)』換算成『每期利率(rate)』嗎?

是的,或許那些財務專家們聽到了大家的問題,就另外寫了一個公式,全部以名目利率為基礎。因為付息期間可能是一年、半年或一個月,那麼每期利率就可以用名目利率除上每年計息的次數來換算。每年計息次數一般會以 m 來代表,以半年計息一次為例,等於每年計息2次(m = 2),也就是說以『半年』為一期,一年有兩期。

每期利率 = Rn / m

可以直接這樣除的原因是:這半年內都以單利計算。依此類推,一月計息一次(m=12),rate 等於是月利率(Rn / 12)。

期數(n)也得隨著rate的付息期間來改變,例如半年計息一次(m=2),兩年到期,那麼就得使用半年利率(rate = Rn / m = Rn / 2)。因為一年有兩期,所以兩年就有4期了,所以期數(n)就變成『每年付息次數(m)』乘上『年數(t)』,也就是:n = m*t。

將公式(2)的rate換成(Rn/m),n換成(m*t)就可寫成通用的複利未來值或終值公式:

FV = PV*(1+Rn/m)m*t ---------公式(3)

  • PV:期初金額
  • Rn:名目年利率
  • m:每年計息次數(複利次數)
  • t:年數

Rn/m的意義是每期的利率,例如Rn / 2 就是半年利率;Rn / 4 就是季利率;Rn / 12 就是月利率。m*t就是總計息次數,也就是俗稱的複利次數,例如每月複利一次(m=12),3年(t=3)總共複利36次 (12*3)。

複利之未來值

例如100元存入銀行,名目年利率6%,每月複利一次,每年12次(m=12),求3年後之未來值FV?

每月計息一次,就是一年複利12次,所以m = 12。期間為3年(n=3),所以總共計息次數m*n = 12*3。
FV = 100*(1+6%/12)36
以Excel表示 =100*(1+6%/12)^36 = 119.67

同上例但是改成每季計息一次,求半年之未來值FV?

每季計息一次,就是一年計息4次,所以m = 4。期間為半年(n=1/2),所以總共計息次數4*(1/2) = 2。
FV = 100*(1+6%/4)2
以Excel表示 =100*(1+6%/4)^2 = 103.02

複利次數對未來值之影響

每年複利的次數愈多,實質年利率就愈高,終值就愈高。但是差別到底有多少呢?在下載的Excel檔中,『複利次數之影響』這工作表,期初以100元投入(讀者可自行更改儲存格B1),分別以名目利率6%、20%兩組,每組均以年複利(1年複利1次)及日複利(1年複利365次)分別計算終值。下面有兩張圖,上圖為6%,下圖為20%。可以看出年利率“6%”的部份,不論每年複利一次或365次,20年之間差別不大。可是再看年利率“20%”(下圖),這兩者差別可就大了。

所以說利率愈高,每年複利次數的影響愈大。由下圖的分析,可以看出名目利率不大的話,終值對複利次數的敏感度不大。

複利次數之影響

實質年利率

根據公式(3),相同本金、相同年利率、相同期間,只是每年的複利次數不一樣時,就會有不同的結果。而且每年複利愈多次,應該得到更多錢才是。沒錯,複利次數愈多,一年後期末未來值就愈高,但不是等比例的提高,而是愈趨近於飽和。以100元存銀行,年利率6%,來看看不同的計息次數結果會有何不同:

計息
次數
Excel公式 未來值
(FV)
實質年利率
1
=100*(1+6%/1)^1
106.00
6.00%
2
=100*(1+6%/2)^2
106.09
6.09%
4
=100*(1+6%/4)^4
106.14
6.14%
12
=100*(1+6%/12)^12
106.17
6.17%
365
=100*(1+6%/365)^365
106.18
6.18%
=100*exp(6%)
106.18
6.18%

由上表可以看出計息次數由每年一次到12次時,實質年利率由6.00%升到6.17%,而且愈來愈平。複利次數由12次到365次時,實質年利率卻只由6.17%升到6.18%。也就是說每月複利一次跟每日複利一次沒差多少啦,我想這也是銀行複利次數以月複利為主的原因吧。

連續複利

複利既然那麼厲害,那麼每個貸款者也都心想著:要是能隨時都複利就好了。上表最後一列的每年計息次數就是無窮多次,也就是分分秒秒都在複利的意思,學術界稱這為連續複利。還好~~~上天有眼,沒給那些貸款者太多好處。連續複利實質增加有限,因為從『每月複利』到『每日複利』對實質年利率的改變都不是很大了,那麼『每日複利』到『連續複利』的實質年利率理應也改變不大才是,結果正如所料,還是維持6.18%沒變。

連續複利時,未來值的公式如下:

FV=PV*eRn*t

PV是期初值,e是自然指數,Rn 是『名目年利率』,t 是『年』。e在Excel裡用的是EXP函數。

例如100元投資利率6%,以連續複利計,兩年後的終值如下:

FV = 100*e(6%*2)  以Excel公式表示:

=100*EXP(6%*2)
=112.75

實質年利率公式

實質年利率的意思是:名目利率(Rn)經過一年多次的複利後,相當於一年複利一次的『實質利率』或稱『等值利率』。

利率的意思是:利息佔期初本金的比例,也就是:
利率(Re)
= 利息 / 本金
= (FV - PV) / PV
= FV/PV - 1 ---------公式(4)

FV可用公式(3)去代入,一年複利終值就是當 t = 1,所以將 FV = PV*(1+Rn/m)m 代入公式(4)

實質利率(Re)
= PV*(1+Rn/m)m/ PV -1
=(1+Rn/m)m- 1
---------公式(5)

Re =>實質利率 (Effect),Rn=>名目利率(Nominal ),m =>每年複利次數

實質利率




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財務槓桿

張貼者:2011年11月14日 上午2:19台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2011年11月14日 上午2:21 ]

如果有人大聲吹噓的說他一年的投資報酬率高達80%,十之八九一定是使用了財務槓桿,簡單說就是舉債投資,也就是利用別人的錢來賺錢。雖然財務槓桿可以增加報酬率,但是也可能加大投資損失,該如何拿捏可是一門學問,投資者不可不知。

財務槓桿觀念

資產報酬率(Return On Assets)

了解財務槓桿之前得先知道什麼是資產報酬率,因為這是一切的基礎。所謂「資產」就是投資標的物,例如股票、房地產等資產。運用該資產會產生獲利,其獲利金額佔資產的比例就稱為「資產報酬率」,其公式:

資產報酬率 = (資產期末淨值 / 資產期初淨值) - 1

要注意的是以上敘述均沒有談及何者擁有該項資產,以及用何一種資金方式取得該項資產,僅論及該項資產會產生的獲利。但是若這項資產是投資者以自有資金購入,那麼該資產的報酬率就等於投資者報酬率,或者總報酬率。所以資產報酬率也可以解釋為無貸款之投資報酬率。圖一說明了自有資金與資產之關係。

▼圖一:資產報酬率
資產報酬率

舉個例子來說,Maggie以每股50元買了20張台積電股票,一年後股價漲到每股60元,而且配了2元股息。Maggie這項投資的「資產」為20張台積電股票,那麼資產報酬率:

=((60+2)*20*1000)/(50*20*1000) - 1
=(60+2)/50-1

= 24%

總報酬率

總報酬率就是考慮貸款因素後,以投資者角度來看的投資報酬率。若資產全部都是以自有資金持有,沒有貸款問題,「總報酬率」當然等於「資產報酬率」。若資產一部分是自有資金,另一部分是以貸款方式取得,不論投資是否獲利都得支付利息。該項資產所產生的獲利必須扣除利息後,所剩下的「淨額」與「自有資金」的比例稱為總報酬率,也是投資者的實質報酬率

財務槓桿之意義

資產報酬率和資金的取得方式是無關的,但是投資者的報酬率卻和如何取得該資產的資金方式息息相關。投資者可以用全額自有資金,或者是部分自有資金、另一部份以貸款來取得該項資產。依據貸款金額與自有資金比例之不同,所得到的投資報酬率(總報酬率)是不一樣的。

例如以100萬元買了20張台積電股票賺了24萬元,這項投資的資產為「20張台積電股票」,也就是資產報酬率24%。不論這100萬元資金用的是自己的錢,或是借來的,台積電股票都會賺24萬元。唯一不同的是:用自己的錢買的不用付利息,借來的要付利息而已。如果這100萬是全額自有資金,那麼總報酬率還是24%。若一半自有資金,另一半貸款、利率4%,那麼台積電股票本身的獲利還是24萬,可是得支付50萬貸款的利息2萬元,結算淨獲利22萬元。投資者只拿出50萬元資金,卻可以拿到22萬元之獲利,相當於44%(=22/50)的投資報酬率。

再舉一個房地產的例子:投資1,000萬買房子來出租,每年收取50萬元的租金,相當於5%的租金報酬率。這項投資的資產為「房子」,所以資產報酬率等於租金報酬率5%。那麼不論這1,000萬是全部自己的錢,或是部分貸款,都不會影響50萬的租金收入,只是貸款部分需要付利息。若同樣這房子一半自有資金,另一半貸款、利率2%,也就是500萬自備款,另500萬舉債支付。500萬貸款每年必需支付10萬的利息(=500*2%),所以投資者每年實值獲利為40萬元(=50-10)。對投資者而言投資報酬率提高為8%(=40/500)。

雖然借來的的資金是要付利息,但是投資所賺的獲利卻全部歸屬於投資者所擁有。這代表一件很重要的意義,一個投資標的物的獲利若大於所需支付利息,就值得以借貸方式投資,因為資金是借來的,投資者不用拿出一毛錢。然而,獲利與利息的差額卻是屬於投資者的。以投資者的角度來看,是會增加報酬率的。簡單說,一項投資的資產報酬率大於貸款利率,舉債投資會提升投資者的總報酬率,而且貸款部位愈多,總報酬率愈高。

報酬率怎會變高呢

有讀者或許覺得納悶,全部以自有資金投資,可以不用支付利息。然而貸款投資卻得付利息,照理說實值獲利會變少才是呀,怎會報酬率變高了呢?例如投資1,000萬元房屋出租,每年收取50萬租金。若全部自有資金就可以實收50萬,若500萬自有,另借500萬、年息2%,那麼得付10萬元利息,實收才40萬呀。

不錯,雖然一半貸款投資實收只有40萬,但是只需出資500萬,就可得到40萬元獲利。相較於全額自有資金投資,1000萬元賺50萬元,以報酬率觀點來看,當然是高多了。

財務槓桿的波動風險

Maggie總共投資100萬元,買了20張台積電股票,每張股票賺了1.2萬,總共賺進了24萬元。聰明的投資者就想到了一招,以手中的持股抵押,向銀行借了100萬、年利率4%。心想多了這100萬股票,就可以多賺進24萬,扣除利息錢4萬元外,也還有剩20萬。這樣只要拿出100萬元,可是卻可以擁有200萬的股票,100萬是自己的錢不需要付利息,所以獲利24萬;另外100萬是借來的可得付利息4萬元,所以獲利20萬,總共獲利44萬。綜合整個投資案,拿出100萬元,一年後賺了44萬元,總報酬率為44%。

看起來真是棒極了,可是天底下沒有白吃的午餐,財務槓桿伴隨的是高風險。別忘了不管投資是否賺錢,都必須按時支付利息。假若Maggie的台積電剛好碰到利空,一年後價位來到45元,股價每股虧了5元,還好有股息2元,也就是每股只損失3元,20張總共淨損6萬元。如果沒有借款的狀況,資產報酬率為-6%。若有額外100萬是借的,除了虧6萬之外還得支付利息4萬元,也就是損失增加為10萬元。總結擁有資產200萬,自有資金100萬,外加銀行借款100萬,淨損16萬元,淨損佔自有資金16% (=-16/100),所以總報酬率為-16%

這說明了一件事,若全部以自有資金投資,不論賺錢或虧損,波動都比較小。假若有部份資金是以舉債方式籌資,那麼波動風險會增大。就好像Maggie的例子,相同的股票價格波動(45元~60元),無貸款的波動風險只有-6%~24%,若一半資金是借來的,波動風險卻放大為-16%~44%。

財務槓桿公式

除了以上的敘述之外,有一個公式可以清晰的分析舉債投資,有哪些參數會影響總投資報酬率。圖二財務槓桿公式等號的右邊有兩個加項,一個是資產報酬率,另一個是「槓桿倍數」乘上「利差」。公式推導不再贅述,請自行看圖三的說明。「槓桿倍數」是貸款金額和自有資金的比值,「利差」就是資產報酬率減去貸款利率。當貸款金額等於零時,槓桿倍數也等於零,那麼總報酬率就等於資產報酬率。

▼圖二:財務槓桿公式
財務槓桿公式

▼圖三:資產以部份自有資金購買
財務槓桿公式說明

利差與槓桿倍數

從以上財務槓桿公式來看,貸款投資首要條件是必須有正利差,也就是資產報酬率必須大於利率,否則貸款投資之報酬率不但沒有增加反而會降低,甚至於變為虧損。

和利差息息相關的是槓桿倍數,貸款部分所增加(或減少)的報酬率等於「槓桿倍數」乘上「利差」。若利差為20%、槓桿倍數為1,總報酬率會比無貸款增加20%。相同的20%利差,當槓桿倍數為4時,整體報酬率會比無貸款時提升80%。簡單說槓桿倍數具有放大利差的效果,但是千萬記得:不但會放大獲利;也會放大損失。

以上述Maggie的台積電股票例子來說,資產報酬率為24%,貸款利率等於4%,當中利差為20%。總資產200萬當中100萬為自有資金,另100萬是貸款,根據公式槓桿倍數為100/100,也就是一倍的槓桿。那麼總報酬率等於:

=24% + 1/1*(24%-4%)
=44%

假若資產報酬率不是24%,而是-6%時,總報酬率等於:

= -6% + 1/1*(-6%-4%)
= -16%

下表是上述總結:台積電股價以每股50元購入,槓桿倍數為1時,當股價變動由45~60元時,資產報酬率及總報酬率波動狀況。

一年後股價
資產報酬率
總報酬率
60
24%
44%
45
-6%
-16%

投資房地產範例

假設James、Peter跟Lisa三個人都各自擁有1,000萬元,也都想當包租公。投資條件也都一樣,租金報酬率有5%,貸款年利率為2%。James生性保守全部以現金買入房屋一間,每年收取50萬的租金,總報酬率為5%。Peter是個穩健的投資者,認為包租公風險不大,則以自備款500萬、另外500萬貸款買入1,000萬房子兩間,也就是自有資金1,000萬元,另外1,000萬元以貸款方式取得。Peter的年租金收入提升為100萬元,扣除20萬的利息,淨收入還有80萬元,相當於8%的總報酬率。Lisa別看她是個女子,個性超悍喜好風險性投資。Lisa以每間房屋200萬自備款、另外800萬貸款,買入5間房屋。同樣自有資金為1,000萬,但是貸款金額高達4,000萬元。這樣年租金收入就有250萬元,扣除利息金額80萬元,淨賺170萬元,相當於17%的總報酬率。這三個投資者總結如下:

▼表二:投資1,000萬,租金報酬率5%,利率2%

投資者
房屋數量
槓桿倍數
租金收入
利息費用
淨收入
總報酬率
James
1
0
50萬
0
50萬
5%
Peter
2
1
100萬
20萬
80萬
8%
Lisa
5
4
250萬
80萬
170萬
17%

這三個投資者都具備同樣的條件,可是因為使用了財務槓桿程度不同,每年的投資報酬率卻大大的不一樣。




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72法則新解

張貼者:2011年11月14日 上午2:17台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2011年11月14日 上午2:18 ]

相信很多人都知道複利的威力無窮,也都聽過什麼是72法則,但兩者之間的相互關連就較少聽聞,這裡提出一個不同的詮釋方式,不需複雜的公式解說,就可以讓我們更加了解複利的運作方式。

複利超乎想像

複利的威力有多大,以一個範例解說最為清楚。若每個月投資5,000元在平均年報酬率15%的基金,經過40年後該基金之淨值會高達一億五千萬。通常聽到這數字時,都會誤以為若依這條件,投資20年也會得到7,500萬。結果算起來卻不是這樣,而是只有約750萬元,足足相差了快十倍!

會造成如此的結果,當然這是因為複利的效果。表一列出每5年成長的數據,是根據複利公式所計算出來的,只是從公式及數字本身並無法充分了解為何這樣,然而透過72法則的法眼,就可以將來龍去脈看得很清楚。

表一:每個月投資5,000元、平均年報酬率15%之基金淨值表

72是個魔術數字

需要幾年的時間,所投資的金額會成長為兩倍大?也就是不管投資金額為何,都會成為該金額的兩倍。例如投資100元會變成200元、投資10萬元會變成20萬、當然投資一億元,也會變成2億元。72這個魔術數字給了一個超完美的答案,投資翻一倍所需年數等於「72」除以「投資報酬率」。沒有複雜的公式、也沒有指數運算,就這麼簡單公式,用心算就可以得到答案。雖然這答案不是精確的、是大約值,但做為投資決策也夠了。

例如投資報酬率為10%,那麼翻一倍時間需要7.2年(=72/10);若投資報酬率為15%,那麼翻倍時間就可縮短為4.8年(=72/15)。表二列出了計算明細:期初投資100元,每年以15%複利,到了第5年時,成長到了201元。很明顯的看出15%的投資報酬率,由100元成長到200元,需要5年的時間。

表二:100元、15%經過5年複利過程

5年翻一倍意義非同小可

15%投資報酬率,可以讓投資金額每5年翻一倍,這意義可是非同小可,這可是等同於每5年可以賺進這一輩子到目前所累積的金額。當你正在閱讀本文時,你若已經擁有1,000萬的財富,這是你到現在為止,累積一輩子所擁有的。然而只要再過5年,就可以讓你輕鬆的賺進另一個1,000萬元,當然前提是每年均有15%報酬率。這好似需要一輩子才可以擁有的財富,現在只要5年就可賺到,而且還會一路翻倍過去。這也說明了誰愈早拿到人生的第一桶金,誰就是贏家的最佳寫照。

這也敘述了愈早有錢,未來老了就會愈有錢。而且當年紀愈大,無法靠自己賺錢時,所擁有的金錢,卻可以持續帶來財富。理財的最高超境界:當您前往巴黎旅遊,悠閒的在左岸喝咖啡時,你的錢還很努力的幫你賺錢。

用72法則解讀複利效果

看表一的第一列,投資前5年會得到淨值約44萬元整。可是看看最後的5年(35~40),同樣是5年的時間,淨值卻增加了快8,000萬。為何會這樣呢,理由是頭一個5年,基底是以零為準,所以只增加每月5,000元的投資,總共44萬元。然而到了35年時,基底已經高達七千多萬。所以最後的5年所增加的8,000萬,並非靠每月5,000元而來,而是那基底7,300萬翻一倍的效果。也可以這麼說:每月5,000元,每5年只會創造44萬元,其他部分都是基底翻一倍的功效。

有這些觀念,再來看表一的淨值,不難發現從第15年起,幾乎都是每5年翻一倍上去。第20年到40年,總共有4個5年,可以算算是相差16倍,也就是2的4次方倍。

複利的意義

了解72法則及複利效果並無法「立即」帶來財富,但是卻很明確的傳達一個重要訊息,投資報酬率是非常重要的,決定了「未來」是否擁有財富。想一想若甲、乙兩人在30歲時同時擁有100萬,甲只會2%的定存,乙的投資報酬率卻是15%,到了65歲退休時,用72法則心算,甲100萬只能翻一倍成為200萬。然而乙的100萬,卻每5年翻一次,35年可以翻7次,也就是2的7次方總共128倍,相當於一億兩千八百萬。要當甲或乙,您自個決定吧!




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