資產配置

風險與報酬

張貼者:2011年11月14日 上午2:16台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2013年8月31日 上午6:00 ]


常聽到網友們說,想找一種『低風險、高報酬』的投資標的,我都直接了當的告訴他們:這是不可能的。投資學第一課即是「風險與報酬之兌換」;也就是說報酬率高的投資商品一定得用風險來交換。

試想若有一個投資商品和定存一樣穩健保本又保息,而報酬率卻高於定存,那麼是不是會有一大堆的理性投資者會去買該商品呢?結果當然導致需求高於供給。根據市場法則,該商品價格往上推升,利潤自然就下降,報酬率自然就降下來;反過來說,若有一項風險的投資標的例如債券及股票,其所提供之報酬和定存一樣低,則將不會吸引投資者購買。所以該商品必需降低其價格,提供投資者夠多的利潤空間,才有客戶上門。

所以說,投資鐵律即為”高風險、高報酬”、 ”低風險、低報酬”,你不承擔風險是不可能得到好報酬的。

不承擔風險好嗎

要得到較高的報酬就必須付出風險的代價,因此許多人是選擇不要風險,寧可報酬低一些,才不會把辛苦賺來的錢給賠掉。這就是為什麼台灣有那麼多人投資人選擇放定存的原因了。但是要討論的是:

  1. 不承擔風險將失去了多少機會
  2. 承擔風險真有那麼可怕嗎
  3. 不承擔風險失去了多少機會

我們以台幣定存每年2.2%和投資組合每年8%來比較,現在投資100萬元

一年後:

2.2% 102.2萬
8% 108萬

雖然一年利息只差5.8萬,但是我們看看20年後會有什麼區別:

2.2% 155萬
8% 466萬

兩者差了三倍,不是三成喔!100萬一年定存會得到2.2萬利息,而風險性投資會平均得到8萬。很多人心想只差個幾萬塊,值得冒這風險嗎?可是數字告訴你,20年後會差到三倍之多,而且時間愈久差距愈大。

承擔風險有那麼可怕嗎

大家一談到風險就怕,以為會把心血賺的錢賠光光似的,其實風險是可管理及規劃的。風險有大有小,如果無法承擔大的風險,就選擇小一點的風險,投資學裡有一大半是在談風險管理,可見這有多重要。風險是可以隨自己所承擔的大小來做調整,就像你在調整電視機的音量一樣,要多大有多大,要多小有多小。這表示只要調整範圍在個人能承擔風險之內,相信很多人會願意承擔適當的風險,然後得到較高報酬的。

如何衡量風險

如果我們希望能調整風險大小,那麼我們必須先知道如何衡量風險。風險有許多種,諸如信用風險、波動風險等。但最難處理的是波動風險,就好像股價每天都在波動,是漲還是跌實在不知道。如下圖是MSCI世界指數圖,由這張圖我們只知道它一路往上爬,而且上下波動還不小,尤其是1999年那一段。可是這張圖無法帶給我們任何其他的分析。

MSCI世界指數

統計學家把這張圖的資料以每月為一期,計算當月報酬率,每年會得到12個月的報酬率。長期下來把這些報酬率做一張直方圖,觀察報酬率會呈現怎樣的分布呢?上下圖都是用同一組資料,卻有不同表現,一個是無法分析,另一個卻有規則可循。

直方圖

直方圖上呈現的是鐘型曲線告訴我們這是自然分配。這就好辦了,由統計學知道只要是自然分配就可以用平均值(μ)及標準差(σ)來分析。MSCI這組資料月報酬率平均值0.69%,月報酬率標準差4.1%。我們不要去管數學,只要知道其意義便可。自然分配代表報酬率會在平均值附近遊走,或稱為波動。至於波動大小由標準差決定,有68%的機會落於平均值正負一個標準差之間,95%的機會落於平均值正負兩個標準差之間。亦就是MSCI 世界指數每月報酬率:

68%的機會落於 -3.41%~4.8%之間
95%的機會落於 -7.51%~8.89%之間

衡量波動大小就是由標準差的值來決定,標準差愈大波動愈大,標準差愈小波動愈小。這直方圖的外緣像一個鐘一樣,標準差愈大這鐘型曲線愈胖,標準差愈小這鐘型曲線愈瘦。

年化報酬率可以用月報酬率直接乘以12求得0.69%*12= 8.28%
年化標準差可以用月標準差乘以12的開根號 4.1%*12^0.5 = 14.2%

如何調整風險大小

我們已經知道風險可以由標準差來衡量,但是已經知道投資標的的風險(標準差)又如何呢?如果風險性資產只佔整個資產的部份比例,而其他部分則投入無風險資產例如定存,那麼整個資產的風險自然降低了。而且如果風險性資產比例愈低,整體的風險就愈低。這道理大家應該都知道,但是混合起來確實數字會變成怎樣卻鮮為人知。下面為其公式

報酬率 = (定存比例 * 定存報酬率) + (風險資產比例 * 風險資產報酬率)
標準差 =風險資產比例 * 風險資產標準差

例如MSCI世界指數ETF,平均報酬為每年8.28%,標準差14.2%;而定存報酬為每年2.2%標準差0%,那麼混合這兩種投資標的,不同的比例會有什麼結果呢?

資產配置圖

上表的第一行是完全100%投資MSCI ETF,所以報酬率8.28%和標準差14.2%完全和MSCI ETF一樣,愈往下看,定存比例就愈高,標準差就愈少,當然報酬率亦愈小。隨著定存比例往上升,我們可以看到標準差一路往下降,一直到零為止,那就是百分之百投資定存。這結果告訴我們什麼?只要調整定存比例,就可以調整風險大小。可想而知無風險資產在你的資產配置裡有多重要。

將上面表格中以標準差為橫軸(x),報酬率為縱軸(y),就可得到右上圖的資產配置線,橫軸標準差從0%到14.2%;縱軸報酬率從2.2%到8.28%。這條線的斜率代表每單位風險得到的報酬 (8.28%-2.2%)/14.2% = 0.43%。就是說每增加1%的風險(標準差)可換得0.43%的報酬率。斜率愈陡,代表承擔一單位風險得到的報酬愈高。這也告訴我們報酬是要用風險去換來的,用風險所換得的報酬稱之為”風險溢酬”。

例如MSCI World Index年化報酬率為8.33%,年化標準差為14.21%。我們如果投資100萬,可以70萬投資美金定存(4.8%),另30萬投資MSCI 世界指數的 ETF,這樣就可以將整組資產標準差等於14.21%*0.3 = 4.2%,當然整組報酬率也會降低4.8%*0.7 + 8.28%*0.3 = 5.844%。這組資產變成這樣:

年報酬率:5.844%
年標準差:4.2%

這組資產未來會如何變化

其實一般投資人對統計及標準差是陌生的,經過計算得到了一組數字:年報酬 5.84%及4.2%標準差的風險,但怎麼知道是不是我能承擔的?尤其是什麼時候該買,什麼時候該賣?怎麼都沒提到呢?買賣股票及基金不都是該這樣嗎?

其實那些都是錯的,只要持有該資產放著不管就可以了。因為你已經預知該資產可能變化情形,年報酬率平均值5.84%已經說明會淨值會以平均5.84%的力道往上爬升,只是不會剛好是5.84%而已,但是大部分時間(68%機會)會落於1.64%~10.04%。如果都放著不管,一年就會有這種變化,幾年下來會變成怎樣呢?如果可以預知這組資產淨值未來可能變化的情形,投資者便可自行判斷這組資產是否適合自己了。我用的方法是直接去模擬未來,取用亂數表來產生報酬率,代表每年報酬率是會隨著平均值變化,但如何變化是沒規則的,我提供了一個Excel檔來模擬未來十年可能的變化?

下載試算表

我用亂數表產生100組,每組有十年的報酬率,其報酬率及標準差符合所設定的參數B1 (報酬率)及B2(標準差),起始淨值每次都由100開始,每年根據報酬率重新計算淨值,下圖是100組的淨值路徑,你可以看到第十年大部分落在150~200之間,只有少部分稀稀落落在外面。

績效模擬

把這些資料整理一下,把每年100組的淨值求平均值及標準差,就會得到下一張圖表,淡青色線條夾角部份是一個標準差(68%)波動的範圍,粉紅色線條夾角範圍為兩個標準差(95%),你可以感受一下這波動會是多大。任何時刻你都可以改變B1及B2儲存格的值,再看看未來十年走勢如何。標準差值愈小,你可以觀察到波動的範圍就小了,粉紅色及淡青色夾角就愈小。

下圖是年報酬率:5.84% 年標準差:4.2%的結果,你可以看到雖然頭一兩年還是有可能為負值,但往上的方向是對的。如果這讓你不舒服,再調高定存比例吧!縮小標準差,會讓你睡的安穩些,但同樣的你得損失報酬。

波動範圍

提高單位風險之報酬率

既然報酬是要承擔風險去換得,當然承擔相同風險所得到的報酬愈高愈好,這就是資產配置的課題。由『如何調整風險大小』這節裡的資產配置線為例,要讓資產配置線變陡,就必須將基金的標準差(14.2%)維持不變,而報酬率要提高(>8.28%) 才有可能,或者是報酬率維持不變,降低風險。將兩種以上的不同屬性基金依不同比例混在一起,是會降低風險的。然而如何將兩個或多個基金混在一起而得到最佳報酬/風險的比值,稱之為”資產配置”。





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資產配置-實例篇

張貼者:2011年11月14日 上午2:14台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2013年8月31日 上午5:58 ]


在網站裡也談了許多關於資產配置的理論,但是總覺得少了些較具有說服力的範例。這一次直接下載富達網站的歐洲基金及美元債券型基金的淨值資料,日期涵蓋自1991年到現在為止。用這實際的回流測試來告訴大家,真的,理財就是這麼簡單!做好資產配置後,基金買來就放著,固定時間調整一下就好了。

回流測試

當我們想知道一個投資方式是否有效時,最好的方式就是利用回流測試,假設時間倒退幾年,然後用這方法投資,再利用實際發生的數字,驗證該投資是否如預期般的有效。所以我也是利用回流測試的方法來說明資產配置理論,作法分成三個階段:

  • 選定資產標的及取得歷史資訊
  • 將時光倒回,依實際發生狀況演練
  • 分析及比較結果

這裡有一份Excel檔案,就是回流測試的結果,下面章節會詳述這份檔案的製作方式。

下載Excel檔案

回流測試

第一步:選定資產標的及取得歷史資訊

這次實際演練標的是選擇富達歐洲股票型基金及富達美元債券基金,主要因為兩組基金一個是股票另一個是債券,比較可說明股債平衡的道理。那為什麼又是富達基金呢?主要原因只是資料取得容易,目前網路上能取得多年淨值資料的也只有富達基金。這階段的做法如下:

1.取得所選取基金之每月淨值資料
2.個別算出兩組基金的每月報酬率
3.求得兩組基金月報酬率的平均值(μ)及標準差(σ)
4.算出兩組基金月報酬率的相關係數(ρ)

先看Excel的工作表:(表一)投資比例不調整:

位置
意義及公式
B欄 富達美元債的每月淨值表
C欄

富達美元債每月報酬率

月報酬率的公式如下:
(當月淨值 – 前月淨值) / 前月淨值
C218 富達美元債的月報酬率平均值(μ),以average函數計算。
C219 富達美元債的月報酬率標準差(σ),以stdev函數計算。
E欄 富達歐洲基金的每月淨值表
F欄

富達歐洲基金每月報酬率 月報酬率的公式如下:

(當月淨值 – 前月淨值) / 前月淨值

F218 富達歐洲的月報酬率平均值(μ),以average函數計算。
F219 富達歐洲的月報酬率標準差(σ),以stdev函數計算。
B3 富達美元債及富達歐洲的月報酬率相關係數(ρ),以correl函數計算。

第二步:時光倒回,依實際發生狀況演練

基本資料做完後,接著就是將時光倒轉至1991年,然後拿出100元,分別以50元投資富達歐洲基金,50元投資富達美元債券基金。然後假設“買入長期持有”,我們來看看這兩支基金的淨值會是如何變化。然後把兩支基金的月淨值相加,就會得到配置後的淨值了。根據配置後的淨值,就可算出月報酬率及其平均值和標準差。

位置
意義及公式
D欄

富達美元債,在1991年1月投入50元後的每月淨值。
公式:本月淨值 = 上月淨值*(1+月報酬率)

G欄

富達歐洲,在1991年1月投入50元後的每月淨值。
公式:本月淨值 = 上月淨值*(1+月報酬率)

H欄 富達美元債的月淨值 +富達歐洲的月淨值
這欄就是配置後的淨值
I欄 根據H欄淨值算出的月報酬率,也就是配置後的月報酬率
I218 配置後的月報酬率平均值
I219 配置後的月報酬率標準差

第三步:分析及比較結果

當回流資料做好後,接著就是分析及比較的工作。最好的方式就是將配置前及配置後相互比較,這樣最為清楚。我們已經有了兩基金配置後的淨值,及月報酬率。但是要比較的話,兩者比較基礎必須一樣,亦就是每基金個別於期初也投入100元,看看結果是如何:K欄是單獨富達美元債的結果,而L欄是單獨富達歐洲的結果。而H欄就是配置後的結果。下圖就是H、K、L欄的資料以圖表呈現的結果。黃線是富達歐洲,淺藍線是富達美元債,粉紅色是兩者配置結果。可以清楚看到,配置後的淨值是穩定多了,淨值波動介於兩者之間。

分析比較圖

光是看了這結果是不夠的,還得跟理論值確認看看是否一致。

項目 平均值(μ) 標準差(σ)
富達美元債
0.4862%
1.1965%
富達歐洲
1.2539%
4.8274%
兩者配置後 實際值
0.9605%
3.1953%
理論值
0.8701%
2.4096%

上表的理論值是根據下列公式計算出來:

A資產平均報酬率為μa 標準差為σa 佔總資產比例wa
B資產平均報酬率為μb 標準差為σb 佔總資產比例wb
AB資產相關係數:ρab

配置後:

平均報酬率 = wa*μa + wb*μb
= 0.5*0.4862% + 0.5*1.2539%
= 0.8701%

標準差 =
=((0.5*1.1965%)^2+(0.5*4.8274%)^2+2*(-0.1307)* 0.5*1.1965%*0.5*4.8274%)^0.5
= 2.4096%

奇怪,為何和理論值不合

由上表中可以看出配置後的結果和理論值是有所差距的,我們預期平均報酬率應該是0.8701%及標準差2.4096%,可是配置結果卻得到0.9605%的平均值及3.1953%的標準差。雖然平均報酬率比預期高但是標準差也比理論值高了。怎會理論值和實際做法會有差距呢?如果不解決這問題,如何直接由理論值來推論結果呢。還好這問題發生在配置的比例上,因為理論值是根據兩者比例是50/50所計算出來的,可是實際的配置只有在期初是50/50,經過第1個月以後,兩者淨值比例分配就不再一樣了,而且時間愈長,比例偏差就愈大了。

把這問題解決後,看是否跟理論值會完全一樣!Excel的工作表“(表二)每期投資比例重新調整”,就是將每月的投資金額,按照上期的期末配置後淨值重新分配比例,得到結果就和理論值完全一模一樣了。下圖(Excel工作表三)是每月的投資金額經過調整及未調整的比較圖:

調整後比較圖

可以看出調整過後淨值波動會比較平坦,但是最後表現會略差。這是符合預期的,標準差(波動)大幅減少,但是平均值較差,這跟計算出來是完全一致的。

那麼該多久調整一次

如果一開始設定一個分配比例,但是隨著時間拉長這比例就會跟著變,但是實務上並不必要每月調整,因為調整比例是得付出成本的,只有當比例大到非我們預期時,再來調整即可。個人投資者只要知道原理,比例上並非要求那麼精準,差一些是沒多少影響的。Excel之所以會有調整這工作表,是因為要讓讀著知道資產配置理論的正確性,及其變化而已,並非一定得這麼做。

波動變小不只因為股票比例少

有讀者或許會問,股票的成分只剩50%比例變小了,當然波動就會減少了,這有何了不起,還動用了那麼多的統計數學。沒錯!當股票成分變少了,整組配置的標準差本來就會變小,但是如果不是因為負相關的原因,是不會變得那麼小的。我們來看看如果沒有相關係數的因素,單純只是比例因素,兩者組合後的標準差等於多少?只要將兩個基金標準差加起來除以2就是了:
=1.1965%*0.5+4.8274%*0.5
= 3.012%

亦就是說不只單純是因為股票的比例少了的原因,才讓波動減低。因為負相關的原因,讓波動由3.012%降至2.4095%。幅度降了將近20%。

關鍵因素:相關係數(Correlation)

表一及表二的B3儲存格顯示這兩組基金自1991年到現在的相關係數是-0.1307,代表這兩組基金長期呈現負相關。為了感受一下負相關的意義,下圖是隨便抽取前幾個月的報酬率來看看,可以看出大部分時間都是一正一負的,不負相關也難!

相關係數

相關係數時間變化

已經知道長時間來看(1991年到2007年),這一組基金是呈現負相關。可是在任何時刻都一樣嗎?既然資料都已齊全,反正用Excel做也非常容易,也就“順便”看看吧!在Excel的(表二)L欄,是兩組基金的“當時”相關係數,L欄的每一儲存格,是以那個月為基準用前三年的資料所計算的相關係數。可以解讀成那期間的相關係數。下圖(表四)就是將L欄的當時相關係數隨著時間變化圖。可以看出2007年以前都是呈現約-0.3的負相關,只有在1994~1999年是正相關的。雖然那時期是正相關,但是平均也大約0.25左右。這張圖說明了,這兩支基金的配置應該是很不錯的。

三年相關係數變化圖

資產配置線

表一及表二的B1儲存格讀者可以自行調整富達美元債券的比例,目前預設值是50%。當比例調整時,可以觀察該工作表最上面的淨值圖,觀察配置後的結果(粉紅色的線),在不同的比例配置時的變化情形。

除了一個一個的看配置後淨值曲線,還可以一次看10種配置的結果:表五的資產配置線。裡面的值是將B1比例,由0%調整到100%,每次調整10%,然後一一將配置後的平均值及標準差紀錄下來。下圖最左邊的那一點是100%的美元債0%歐洲股,每往右上一點增加10%歐洲股,減少10%美元債。直到最右邊一點是百分之百的歐洲股。

資產配置線

資料下載

這篇文章所用的基金資料是由富達網站所下載的,進入網站後,有三個欄位讓你選擇基金資料,如圖所示就可選到本文所用的範例。

富達網站

選擇好基金後,按確定便進入歷史淨值的頁面。在該頁的最下面有“下載淨值檔案”(如下圖),選擇Excel檔案,就可以下載歷史淨值了。淨值下載後是以日為單位的淨值,然而我們希望是每月的淨值,可以在淨值欄旁邊取另一欄作為標示(例如D欄),於D欄裡一個儲存格(例如D12)置入以下公式=IF(MONTH(A12)=MONTH(A11)," ","Y"),在將這公式複製到D欄其他儲存格。每月的第一天的儲存格就會出現”Y”,其他只會出現空格。再利用篩選功能過濾出只顯示有”Y”的列就可以了。

富達資料下載



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資產配置-相關係數篇

張貼者:2011年11月14日 上午2:12台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2013年8月31日 上午5:59 ]

在基金公司的宣傳裡,常看到『股債平衡』這個廣告詞。最近在富達投資的網站裡,看到一份不錯的資產配置文章,想提出來跟大家分享。只是這篇文章是以英文書寫,但我不打算逐一翻譯,想用“看圖識字”的方式再加上我自己的說明來解釋這篇文章。

原文內容:Asset Allocation Report: Stock-Bond Mix Now As Important As Ever。我把這標題翻譯成『資產配置報告:股票-債券之配置仍然如以往一樣的重要』。

資產配置理論

想看懂這篇文章得先對資產配置的理論有一些了解。所謂資產配置(Asset Allocation)就是將兩者以上的資產以不同的比例混合起來,來達到分散風險的目的。一般資產配置的分散風險所舉的例子,通常是不要把雞蛋通通放在一個籃子裡。但是資產配置的分散風險,所表達的是裡面更深一層的意義:資產淨值波動的減低。
資產組合有一項最主要的風險稱為『波動風險』。例如股票、債券或這些證券的基金,淨值是會隨著時間變化的,而且經常是在平均報酬率上上下下的波動。透過良好的混合方式,可以有效的減低整體的波動程度,這種配合的方式就稱為資產配置。內容主要討論比例如何分配,以及如何選擇資產種類,相互之間的組合可以得到減低風險的結果。

相關係數

或許覺得奇怪,就只是選擇資產種類,然後把它配合起來就可以了,難道不用看趨勢、不用研究線型。是的,那些通通不需要!不要懷疑,就是這麼簡單,只要選對資產,然後單純靠著相互的波動,就可以達到這效果。
那為什麼只是兩個資產的組合,就可以減低波動呢?主要的方法就是利用兩組資產的不相關性或者是負相關,來相互抵銷上下的波動。例如有兩組資產:股票基金及債券基金。為了解釋方便假設兩組基金的上下起伏是沒關連的,行話稱為“相關係數為0”。因為兩組基金相互沒關連,所以兩組基金的漲跌是獨立的,也就是口語常說的“你漲你的,跟我可沒關連喔”。雖然說兩組互不相關,但總會有一些機會是『恰巧』股票基金漲,而債券基金跌;或者是股票基金跌,債券基金漲。這些時候兩組基金的波動不就會相互抵銷了。資產配置說穿了就是靠著這『恰巧』兩字。『恰巧』的機會多,相互抵銷的部份就多;『恰巧』的機會少,相互抵銷的部份就少。

如果我們選擇另外兩組基金,全部都是美國的股票型基金,一個稱為A基金、另一個稱為B基金。亦假設這A、B基金是完全正相關,行話稱為“相關係數為+1”。因為兩組完全相關所以兩基金等於是連動的,也就是說A基金漲,B基金也一定漲,同時漲幅都一樣。而且當A基金跌時,B基金也一定跌。這樣的組合是不可能降低任何波動的,因為一點點『恰巧』“一正一負”相互抵銷的機會都沒有。

接下來我們再來看有沒有那兩組資產或基金是反方向關聯的,就是所謂的負相關。假設極端一點的就是完全負相關“相關係數為-1”。就是兩種資產相互是負向連動的:A基金跌,B基金也一定漲,同時漲跌幅相對稱。而且當A基金漲時,B基金也一定跌。太漂亮了,假若能找到這兩組資產就太好了,因為兩者組合後,完全都不會波動嘛,也就是標準差為0。因為A基金所有的波動,都被B基金給抵銷了。

看完了上面敘述,讀者應當可以感覺到,資產配置的精髓是兩組資產的相關係數,這數字決定了相互之間有多少機會會相互抵銷。相關係數是由-1到1之間的一個值,愈往+1靠,『恰巧』的機會少,相互抵銷機會愈小;愈往-1偏,『恰巧』的機會多,抵銷機會愈大。到了-1就是完美的組合了,因為可以完全抵銷風險。但是不要高興太早,在理財實務裡,要找到負相關的資產已經非常困難了,更別提完全負相關,這是不可能的事。

平均報酬不會相互抵銷

哇!太好了。波動可以相互抵銷,但通通抵銷掉了報酬不就沒了。不會的,所謂波動指的是平均值上下的波動,也就是平均值的離差和。波動相互抵銷後,所得到的就是穩定的平均值。對基金而言,會有一個平均報酬率以及標準差。平均報酬率就是平均值,標準差就是在平均報酬率上下波動的程度。所以當兩資產相互配置後,平均報酬率是不會改變的,但是標準差(風險)會變小。

美國股票及債券長期之相關係數為0.2

理論背景交待完畢,現在我們就可以輕鬆進入主題了。去瞧瞧由富達的研究機構MARE(Market Analysis, Research and Education)所發表的文章講的是啥東西。其實這一篇主要是將過去的美國大型股票,和其他種類的資產類別的相關係數做了一些整理。灰色的長條代表約30年來的長期平均值,綠色部分是最近三年的數據。
這張圖也說明美國大型股票和小型股相關性一直都維持在0.8上下,連動性相當高的,這也難怪因為都是同一國家的股票嘛。但是和國外的已開發國家例如西歐北歐等,相關度就較小,維持約0.6的相關度。只是最近三年,相互的連動性似乎增加了。至於新興國家,以前跟最近一直都維持0.6的相關度。

從這張圖裡可以看到,美國大型股和其他類型股票的相關係數,最近三年來並沒有多大改變,但是債券部份卻變化很大,由以前的0.2變到約-0.1,這代表最近三年美國股票及投資等級債券相配合,是能有效消除波動風險的。


下面這張圖說明美國大型股票和債券型基金相互配置後的結果會是如何?水平軸代表的是風險(Risk)亦就是標準差,以百分比來表示;垂直軸是期望報酬率(%)。中間那條曲線就是用不同比例的混合,所得到的結果。

例如線最右上方那一點是整個組合百分百是股票,期望報酬率是14%,風險標準差約16.5%;最左下方那一點就是整個組合都是債券,期望報酬率是8.5%,風險標準差約6.2%,這兩點所形成的曲線是混合的結果。中間那一點(60% Stocks 40% Bonds),就是六成股票4成債券,期望報酬率是12%,風險標準差約11%。愈往右上面的點代表股票成分愈高,往左下的點代表債券成分愈高。可以看到這條線並不是直線,而是一條偏左上方微凸的曲線。

比較最左下方的兩點:一點是100%的債券沒有股票;另一點是95%債券,5%股票。你會發現有5%股票成分那一點,波動風險減少了可是預期報酬卻增加了。這代表雖然股票波動大,但只要比例對、配的對,不只是會增加報酬,同時還會降低風險的。

再往右上一點,股票部位增加約30%,期望報酬率由8.5%提升至約10.2%,可是風險只增加一點點約不到1%。我們只要順著這曲線就可找到自己適合的配置。這樣的配置選擇方式,就是資產配置的精髓。

結論

所以資產配置這一條曲線,愈往左上凸愈好。當兩資產的相關係數愈往-1靠時,這曲線就凸的更厲害。所以相關係數決定了資產配置的品質,下次當有理專跟你提出資產組合時,可不要忘了問這相關係數是多少。
經過這樣的解說,再配上基金公司的資料,相信對相關係數就會有著不同的看法。這裡頭的計算其實是非常繁雜的,所幸專業機構會幫我們做這一部份,做為個人投資者,我們只需要了解其意義,懂得閱讀專業機構所提出來的數據即可。

附註:兩組資產配置之數學

這裡只列出公式,欲知詳情請自行參考投資學及統計書籍。

有兩組資產其平均報酬率、標準差及資產比例如下表所示:

 
平均報酬率 (μ)
標準差 (σ)
資產比例 (w)
A資產(股票型基金)
μa = 14%
σa = 17%
wa = 0.5
B資產(債券型基金)
μb = 8%
σb = 6%
wb = 0.5
AB資產相關係數
ρab = 0.2


相配置後:

平均報酬率 = waa + wbb = 0.5*14%+0.5*8% = 11 %

標準差 = ((waa)2 + (wbb)2 + 2 *ρab* waa * wbb)1/2
Excel 表示 = ((0.5*17%)^2+(0.5*6%)^2+2*0.2*0.5*17%*0.5*6%)^0.5 = 9.6%

由上面的式子裡也可以看到,組合後平均報酬率和相關係數無關,但是標準差不只和相關係數息息相關,而且主宰整個標準差大小,亦就是波動風險。我們來看上面算式的結果,經過50%股票型基金50%債券型基金的配置後,組合後平均報酬率11%,風險調整為9.6%。如果同樣AB兩組基金,但是相關係數由0.2調整成-0.2。組合後平均報酬率還是11%,可是標準差卻縮小為:

= ((0.5*17%)^2+(0.5*6%)^2-2*0.2*0.5*17%*0.5*6%)^0.5 = 8.4%






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怪老子理財教室首頁





















資產配置

張貼者:2011年11月14日 上午2:09台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2013年8月31日 上午5:56 ]


兩組資產配置會減少波動

兩組資產配在一起時,會讓整體波動減少,而減少的程度和兩組資產的相關係數有關。

  • 如果兩組資產相關係數為"+1"時,代表兩組資產絕對正相關,當一組資產漲的時候另一組資產一定(100%)會漲,反之亦然。這時波動不會減低亦不會增加。例如台灣的兩支股票型基金,往往相關係數相當接近一。
  • 如果兩組資產相關係數為"0"時,代表兩組資產無任何相關性,就是說一組資產漲的時候另一組資產可能漲亦可能跌,不知道而且不一定,就因為這樣某些時候表現會相對抵銷,所以說波動會減低。例如一支股票型基金及另一支債券型基金,因為兩者基金型態不一樣,所以相關係數接近零,波動會抵消。
  • 如果兩組資產相關係數為"-1"時,代表兩組資產絕對負相關,當一組資產漲的時候另一組資產一定(100%)會跌,反之亦然,因為兩者一定互補,所以可以配出一套報酬高及零風險的配置出來。不容易找到相關系數為"-1"的兩組基金,如果有就發財了。

由上面所述相關系數為 -1~+1,好的資產配置應該儘可能選擇相關系數為負或者是零。下圖示以債券(粉紅色)和股票(綠色)配置後(藍色)的結果(相關系數 0.2),您可以看得到配置後(藍色)的波動程度是比股票還好,當然報酬率亦會相對於股票減低。

資產配置模擬

每一檔股票或者基金,從長期的角度來看都可以用兩個參數來表示,一個是平均報酬率另一個是標準差(風險),那麼當我們知道自己擁有的基金及股票的參數時,可以預測持有10年或20年會有什麼結果嗎?我們可以利用微軟的Excel幫我們模擬,下圖綠色的部份是模擬一般股票型基金35年的結果,粉紅色則是債券基金同時間之結果,藍色部份則是股票基金及債券基金各半,並假設兩者相關系數為零之混合結果。我們可以發現混合結果波動是那麼的小,而結果比債券基金大三倍左右。因為是利用Excel亂數表為基礎模擬,你可以得到以下結論『不論如何波動,是一路往上爬』。

你可以按下圖直接開啟或下載excel的檔案來觀看不同次模擬結果,該檔案有兩個工作表一個是"指數模擬"圖表另一個是"模擬資料"表,你可以在任何一個工作表上按F9就會重新模擬一次,你可以看到結果都相去不遠。在"模擬資料"工作表上的黃色儲存格你可以重新定義你自己個股票基金及債券基金之報酬率及標準差以及投資比例,按F9就會重新模擬一次。

用Excel做有趣的模擬實驗

許多人看了資產配置模擬後都有一個疑問,為什麼用Excel的亂數表可以模擬股票或者債券市場行為,這樣模擬可信度有多少?為了回答這些問題我用了兩個有趣的例子來證明模擬是非常方便及有用的,一個是用丟石頭的方式求圓周率π,另一個是模擬五十人的生日看有多少人同月同日生。

丟石頭求圓周率π

當我在學校時候,一位統計學教授敘述了一個故事,在很久以前有一位數學家利用丟石頭的方式求得了圓周率(π=3.14..),方法是這樣的:那位數學家在地上畫了一個正方形,再利用繩子畫一個1/4圓,然後數學家在距離正方形大約五公尺的地方,背對著正方形投下一萬個石頭,然後計算石頭落在扇型面積內的數量以及正方形內石頭數量的比值,圓周率π就是這比值的四倍,求出答案後結果卻是出乎意料的準確。

以前只是聽聽覺得好奇但無法快速實驗,時過25年現在有了Excel便興起做實驗的慾望,做完這實驗當下還覺得頗有成就感的,提出來與各位分享。如果有人知道這位古數學家的名子,請告訴我好添增這篇文章的可看性。

正方形面積 = R*R
扇形面積= (π* R*R)/4
扇形面積 / 正方形面積 =π/ 4
π= (扇形面積 / 正方形面積) * 4

就是說π= 扇形面積及正方形面積比值的4倍。

而石頭落在扇形面積的數量和落在正方形面積數量之比值,應該等於扇形面積及正方形面積之比值,所以

π= (扇形面積石頭的數量/正方形面積石頭數量) * 4


 

Excel如何模擬丟石頭

我們可以使用兩個Excel儲存格代表座標x, y,儲存格輸入亂數產生器函數=rand(),因為rand()會產生0~1的實數,所以 x, y <= 1而且正方形面積為1*1= 1,圓的半徑為1。每一(x, y)組合相當於一顆石頭的位置,我們可以利由畢氏定理判別x, y組合的斜邊 c是否大於圓的半徑"1"來判定這石頭是在扇型面積內或外。根據這原則我們複製10,000對(x,y)儲存格就好像丟10,000顆石頭。

如果 c <= 1,扇型面積內

如果 c > 1,扇型面積外

 

 

點上圖可以開啟或下載Excel擋

 

另一個有趣模擬-相同生日

有一次拜讀林基源先生的"決策與人生"這本書(遠流出版),裡頭提及在一個50人的派對裡,有一對以上的人同月同日生的機率是97%,雖然書裡頭的証明無誤,心中不免存疑,當下立即拿起Excel模擬一下,結果的確如書中所提,只好趕快了解如何證明。

Excel模擬50人的生日(月/日)

如果要去隨機找出真實50個人的生日,尤其是還得一一比對他們之中是否有同月同日生,實在是需要費點功夫。尤其是如果這五十人剛好沒人是同月同日生時,到底是理論錯還是這組樣本恰巧是那3%裡的其中一組,所以要驗證這理論只有一組樣本還不夠,至少還得找100組人當樣本(每組50人),檢查看看100組樣本裡是否有97組都有一對以上的人有相同生日,哇~~~這工程還不簡單呢。

還好有了Excel的亂數產生器幫我們省了許多麻煩,只要用50個儲存格代表50個人的生日,每一儲存格放公式=randbetween(1, 365)會產生1到365的亂數,使用亂數可以模擬隨機抓到一個人然後問他的生日,"1"就代表一月一日"2"代表一月二日,依此類推"365"代表十二月三十一日。再由Excel自動檢查這50個儲存格是否有重複號碼。為方便起見,我已輸入檢查公式,粉紅色儲存格表示有相同生日的人,你可以很清楚辨認是否有相同生日的人。

您可以按"F9"鍵這時50個儲存格的亂數產生器會更換一組新值,代表另外一組50人的生日樣本,按"F9"鍵100次就代表找了100組人,每按"F9"鍵一次就檢查看是否有人同月同日生,你會發現真的如書上所說只有三組人都沒有人有相同生日。

如果你真做了實驗,會發現並不是那麼準確的"三次"槓龜,可能是兩次或四次,這是機率問題,如果你按1000次應該會更接近30次(3%)槓龜,這是因為樣本數愈多會愈準確。













































讓資產配置更靈活

張貼者:2011年11月14日 上午2:08台灣財富管理規劃發展協會   [ 已更新 2013年8月31日 上午5:54 ]


台灣的投資朋友很可愛,好似投資只有兩種選擇,要不是定存就是股票。保守的投資人只敢投資定存,然而積極的投資者又不怕死,特別喜歡股票,似乎除了這兩樣,沒有另外的選擇了。然而除非是賭性堅強的人,否則很少投資者有勇氣把所有的資產全部押在股票上。這就會造成一個現象,大部分資產是置於定存,只有少許金額投資於股票,造成整體平均報酬率不佳。到底該如何做才可以讓整體資產的報酬率得到最佳化,且風險又可控制在可接受的程度,就是本文所要探討的主題。

平均投資報酬率

每一項投資都有一個平均報酬率,而且風險愈高,報酬就愈高。例如定存目前的年投資報酬率為1%,而股票的平均年報酬率假設為20%。那麼不同比例的組合,所得到的平均投資報酬率,是用加權平均來計算。

平均報酬率公式

若第一類資產報酬率為R1,持有比例為w1,第二類資產報酬率為R2,持有比例為w2,第三類資產報酬率為R3,持有比例為w3,那麼:

整體平均報酬率 = w1*R1 + w2*R2 + w3*R3

例如定存報酬率為1%、持有比例80%,所以R1 = 1%、w1 = 80%。股票報酬率為20%、持有比例20%,所以R2 = 20%、w2 = 20%。

整體平均報酬率 = 1%*80% + 20%*20% = 4.8%

不同股票及定存比例的報酬率

下圖所示就是不同的股票及定存的比例,所得到的整體平均報酬率。可以清楚看出,若股票投資的比例只佔整體資產的20%,實質的平均報酬率就只有4.8%而已。就算將股票的比例提升到30%,整體平均也不過是6.7%。這樣的報酬率幾乎跟全部都是債券一樣,可是卻得忍受股票那種高低起伏的痛苦。

債券型基金畫龍點睛

若想提升整體投資報酬率,就必須增加股票的比例,可是卻會讓風險大大的增加。其實有另外的一種投資方式,既可以提升整體報酬率,又可以降低投資風險,可是卻被一般投資者所忽略。就是將投資等級的債券型基金,納入資產配置的一環,也就是專業投資機構所談的股債平衡的道理。

為何債券型基金那麼重要呢?主要原因是債券型基金波動小,穩健型的投資者才敢大比例的投入資金。因為債券型基金的投資報酬率雖沒有股票型那麼大,但是平均起來也有6.5%左右。只要持有比例高,就可以拉高整體的平均投資報酬。

另一方面,因為搭配著股票或股票型基金,還有相互減低波動的好處。也就是說整體的資產配置,會因為加入債券型基金而變得更穩定。舉個例來說,有A/B兩組資產,A組資產只有定存及股票:定存80%、股票20%。B組資產有定存、債券及股票,分別為定存10%、債券70%及股票20%。看看兩組資產都同樣含有股票20%,但是整體資產的波動,B組的波動度會低於A組,因為在B組裡有債券及股票,兩者可相互抵銷波動。而且B組的平均報酬率也因為債券型基金的加入,由原來的4.8%提升至8.7%。

配出自己的組合

嚴格說起來,資產的風險(或稱波動度)是有方法可衡量的,透過資產組合理論,可以配出一組合適自己波動度的組合。只是資產組合理論涉及複雜的統計分析數學,一般投資者比較無法吸收,這裡就不引用。不過即便沒有數學分析,只要其原理也夠應用了。因為實務上也沒有那麼複雜,投資者只要知道組合後波動風險會減少就可以了,至於計算出減低多少,就不是那種重要了。因為股票投資的風險會有多大,投資過的讀者心裡有數,債券型基金風險有多少,只要看過債券指數心裡也都有個底,那麼只要知道兩者組合起來風險會更小,就符合需求了。

Excel檔案

點擊上面Excel圖示,即可下載檔案,供有興趣的讀者自己試算。讀者可自行設定個別資產類別的報酬率以及其投資比例,儲存格C1就會自動算出平均投資報酬率。投資比例那欄,只需設定債券基金及股票的比例(黃色儲存格),定存的投資比例會以公式自動算出,這樣才能保證全部資產比例為100%。

資產配置的壓艙石

因為高風險高報酬,所以唯有投入高風險的投資標的,才有機會獲取較高的報酬。股票或股票型基金,因為報酬較高,所以相對的風險也較高,穩健投資者投入的比例也會減低,這樣的積效就不會顯著。只要在投資組合上加入投資等級的債券型基金,就可以提升整組資產的平均投資報酬率,投資風險也會大大的減低。

古代的船隻在運送貨物的過程中,為了抵擋海上的風浪,會將較重的貨物置於船底下,空船時也會放置較重的壓艙石,讓船身可以吃水較深,具有穩定整艘船的效果。債券型基金在整體的資產配置裡,就好似一艘船的壓艙石一般,既可提昇報酬率,又具有穩定資產波動的效果,是資產配置中不可或缺的一環。

透過試算表,讀者應該練習自行組合這些資產,才會得到不錯的整體平均報酬率。這樣既可以享受長期複利的效果,風險程度又可控制在自己的忍受範圍之內,才是達到資產配置的最高境界。


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